Gibt es bekanntermaßen Funktionen mit der folgenden Direktsummeneigenschaft?

Diese Frage kann entweder im Rahmen der Schaltungskomplexität von Booleschen Schaltungen oder im Rahmen der algebraischen Komplexitätstheorie oder wahrscheinlich in vielen anderen Situationen gestellt werden. Durch Zählen der Argumente kann leicht gezeigt werden, dass es boolesche Funktionen für N Eingänge gibt, die exponentiell viele Gatter erfordern (obwohl wir natürlich keine expliziten Beispiele haben). Angenommen, ich möchte die gleiche Funktion M-mal für eine ganze Zahl M an M verschiedenen Eingangssätzen auswerten, so dass die Gesamtzahl der Eingänge MN ist. Das heißt, wir wollen nur bewerten für die gleiche Funktionfzu jedem Zeitpunkt.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

Die Frage ist: Ist bekannt, dass es eine Folge von Funktionen (eine Funktion für jedes N), so dass für jedes N für jedes M die erforderliche Gesamtanzahl von Gattern mindestens gleich dem M-fachen einer Exponentialfunktion von ist N? Das einfache Zählargument scheint nicht zu funktionieren, da wir wollen, dass dieses Ergebnis für alle M gilt. Man kann einfache Analoga dieser Frage in der algebraischen Komplexitätstheorie und in anderen Bereichen finden.$f$

Nun, das ist falsch: Es ist möglich, M Kopien von ANY f nur mit O (N (M + 2 ^ N)) - Gattern zu bewerten, die viel kleiner als M * exp (N) sein können (tatsächlich werden Sie linear amortisiert) Komplexität für exponentielle M). Ich erinnere mich nicht an eine Referenz, aber ich denke, dass dies in etwa so aussehen kann:

Addieren Sie zunächst 2 ^ N fiktive Eingänge, die nur Konstanten 0 ... 2 ^ N-1 sind, und bezeichnen Sie nun den i-ten N-Bit-Eingang mit xi (also haben wir für i <= 2 ^ N xi = i und für 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M haben wir die ursprünglichen Eingaben). Nun erzeugen wir für jeden der M + 2 ^ N Eingänge ein Triplett: (i, xi, fi) wobei fi für die ersten 2 ^ N Eingänge (eine in die Schaltung festverdrahtete Konstante) und fi = ist "*" Andernfalls. Nun sortieren wir die Tripletts (i, xi, fi) nach dem Schlüssel xi und lassen das j-te Triplett (i_j, x_j, f_j) daraus berechnen wir ein Triplett (i_j, x_j, g_j), indem wir g_j sein lassen f_j wenn f_j kein "*" ist und g_j andernfalls g_ (j-1) sein soll. Sortieren Sie nun die neuen Drillinge zurück nach dem Schlüssel i_j, und Sie erhalten die richtigen Antworten an den richtigen Stellen.

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"Netzwerke, die Boolesche Funktionen für mehrere Eingabewerte berechnen"

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Ich kann online keine nicht gesperrte Kopie oder eine Homepage für den Autor finden, bin jedoch auf die folgende Veröffentlichung gestoßen:

Boolesche Funktionskomplexität (Vorlesungsreihe der London Mathematical Society)

In Bezug auf die algebraische Komplexität kenne ich kein Beispiel, bei dem die exponentielle Komplexität auf eine subexponentielle amortisierte Komplexität abfällt, aber es gibt zumindest ein einfaches Beispiel dafür, dass die Komplexität von M disjunkten Kopien erheblich geringer sein kann als die M-fache Komplexität einer einzelnen Kopie :

Für eine "zufällige" n * n-Matrix A ist die Komplexität der durch A definierten bilinearen Form (die Funktion f_A (x, y) = xAy, wobei x und y 2 Vektoren der Länge n sind) Omega (n ^ 2 ) - Dies kann durch ein "zählähnliches" Dimensionsargument angezeigt werden, da Sie n ^ 2 "Stellen" in der Schaltung benötigen, um Konstanten zu setzen. Wenn jedoch n verschiedene Paare von Vektoren (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n) gegeben sind, können Sie die x in die Zeilen einer n * n-Matrix X und in ähnlicher Weise die y einfügen in die Spalten einer Matrix Y, und lesen Sie dann alle Antworten x ^ iAy ^ i aus der Diagonale von XAY, wobei dies in n ^ 2.3 (oder so) Operationen unter Verwendung einer schnellen Matrixmultiplikation berechnet wird, die bedeutend kleiner als n * n ist ^ 2.

Dies wurde von Wolfgang Paul untersucht und gelöst, der im Wesentlichen zeigte, was diskutiert wird.