Über #P und Zählen von Suchproblemen

Ich habe den Wikipedia-Artikel über das Acht-Königinnen-Problem gelesen. Es wird angegeben, dass es keine bekannte Formel für die genaue Anzahl der Lösungen gibt. Nach einigem Suchen fand ich eine Arbeit mit dem Titel "Über die Härte des Zählens von Problemen mit vollständigen Zuordnungen". In diesem Artikel wird ein Problem beschrieben, das höchstens so schwer wie #queens ist und jenseits von #P liegt. Wenn man einen Blick auf die Zahlen der im Wikipedia-Artikel erschöpfend gezählten #queens wirft, erscheinen sie ziemlich exponentiell.

Ich möchte fragen, ob es einen Namen für diese Klasse gibt oder ob es generell Zählprobleme gibt, die zu Klassen über #P gehören (mit Entscheidung natürlich nicht in PSPACE, weil es offensichtlich wäre).

Abschließend möchte ich fragen, ob es andere bekannte Ergebnisse für andere Suchprobleme gibt, beispielsweise das Finden eines dreifarbigen Punkts in Sperner's Lemma (PPAD complete).

Wenn die Funktion f in #P ist, werden eine Eingabezeichenfolge x von einiger Länge N gegeben ist der Wert f (x) eine nicht - negative Zahl begrenzt durch . (Dies ergibt sich aus der Definition der Anzahl der akzeptierenden Pfade eines NP-Verifizierers.)$2^{poly(N)}$

Dies bedeutet , dass viele Funktionen f liegt außerhalb von #P aus Gründen uninteressant --- entweder weil f negativ ist , oder in dem Fall , den Sie erwähnen, weil die Funktion schneller als wachse . Für das in der Arbeit modellierte n -queens-Problem ist dies jedoch nur ein Artefakt der Entscheidung der Autoren, den Eingabewert n binär codieren zu lassen . Wenn die erwartete Eingabe die unäre Zeichenfolge 1 n war , dann ist f ( 1 n ) : = (Anzahl der gültigen $2^{poly(N)}$$n$$n$$1^n$$f(1^n) :=$$n$-Königin-Konfigurationen) wäre sicherlich in #P, durch einen einfachen NP-Verifizierer, der die Gültigkeit einer gegebenen Konfiguration prüft.

Wenn Sie einige Funktionen untersuchen möchten, die (mutmaßlich) aus interessanteren Gründen außerhalb von #P liegen, ziehen Sie beispielsweise folgende in Betracht:

• UNSAT: wenn ψ eine unbefriedigende Boolesche Formel ist, sonst f ( ψ ) : = 0 . Diese Funktion ist nicht in #P enthalten, es sei denn, NP = coNP. Es ist wahrscheinlich auch nicht in der allgemeineren Zählklasse GapP; das heißt, UNSAT ist wahrscheinlich nicht der Unterschied f - g zweier #P-Funktionen. Es liegt jedoch in der allgemeineren Zählkomplexitätsklasse P # P , die tatsächlich die gesamte Polynomialhierarchie nach Todas Theorem enthält.$f(\psi) := 1$$\psi$$f(\psi) := 0$$P^{\# P}$

Dieses Beispiel könnte Ihnen nicht gefallen, da es sich nicht um ein natürliches "Zählproblem" handelt. Aber die nächsten beiden werden sein:

• Anzahl der Zuweisungen an x , sodass die Boolesche Formel ψ ( x , ⋅ ) für eine Einstellung auf y erfüllt werden kann .$f(\psi(x, y)) :=$$x$$\psi(x, \cdot)$$y$

• die Anzahl von x , so daß für mindestensHälfte aller y , ψ ( x , y ) = 1 .$f(\psi(x, y)) :=$$x$$y$$\psi(x, y) = 1$

Es ist nicht bekannt, dass die beiden letztgenannten Probleme auch mit Oracle-Zugriff auf #P effizient berechenbar sind. Sie sind jedoch innerhalb der sogenannten "Zählhierarchie" berechenbar. Für einige natürlichere Probleme, die in diese Klasse eingeteilt sind, siehe z . B. diese neuere Veröffentlichung.

Nash-Gleichgewichte zu zählen ist anscheinend # P-schwer, siehe hier . Auch Probleme, bei denen das Suchproblem einfach ist, können #P schwer zu zählen sein, z. B. das Zählen perfekter Übereinstimmungen.

$\#PSPACE$-Komplett, $\#EXPTIME$-vollständig usw.

Die Komplexität der Zählmodelle der linearzeitlichen Zeitlogik von Hazem Torfah, Martin Zimmermann