Deterministischer Parallelalgorithmus für perfektes Matching in allgemeinen Graphen?

In der Komplexitätsklasse gibt es einige Probleme, von denen angenommen wird, dass sie NICHT in der Klasse , dh Probleme mit deterministischen parallelen Algorithmen. Das Problem des maximalen Durchflusses ist ein Beispiel. Und es gibt Probleme, von denen man glaubt, dass sie in , aber ein Beweis wurde noch nicht gefunden.N C N $\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NC}$

Das Perfect Matching- Problem ist eines der grundlegendsten Probleme in der Graphentheorie: Bei einem Graph müssen wir ein perfektes Matching für . Als ich im Internet, trotz des schönen Polynomzeit gefunden konnte Blossom Algorithmus von Edmonds und einem RANDOMISIERTE parallelen Algorithmus von Karp, Upfal und Wigderson 1986, nur wenige Subklassen von Graphen sind dafür bekannt, haben N C - Algorithmen.$G$$G$$\mathsf{NC}$

Im Januar 2005 gibt es einen Beitrag im Blog Computational Complexity , der besagt, dass offen bleibt, ob Perfect Matching in . Meine Frage ist:$\mathsf{NC}$

Gibt es Fortschritte seither über den randomisierten - Algorithmus?$\mathsf{NC}$

Um mein Interesse zu verdeutlichen, sind alle Algorithmen, die sich mit ALLGEMEINEN Graphen befassen, nett. Obwohl Algorithmen für Unterklassen von Diagrammen ebenfalls in Ordnung sind, kann es sein, dass dies nicht meine Aufmerksamkeit ist. Danke euch allen!

EDIT am 27.12 .:

Vielen Dank für all Ihre Hilfe. Ich versuche, alle Ergebnisse in einer Abbildung zusammenzufassen:

Die niedrigsten bekannten Klassen enthalten die folgenden Probleme:

• Passende im allgemeinen Diagramme: [ KUW86 ], R N C 2 [ CRS93 ]$\mathsf{RNC}$$\mathsf{RNC}^2$
• Übereinstimmungen in zweigliedrigen Graphen planarer / konstanter Gattungen: / S P L [ DKT10 ] / [ DKTV10 ]$\mathsf{UL}$$\mathsf{SPL}$
• Übereinstimmung, wenn die Gesamtzahl polynomisch ist: [ H09 ]$\mathsf{SPL}$
• Lex-erste maximale Übereinstimmung: [ MS89 ]$\mathsf{CC}$

Unter plausiblen Komplexitätsannahmen: erfordert Exponentialschaltungen, Matching in allgemeinen Graphen ist in S P L [ ARZ98 ].$\mathsf{SPACE[n]}$$\mathsf{SPL}$

Algorithmen für perfekte Übereinstimmungen in allgemeinen Diagrammen sind noch offen, es wurden jedoch einige Fortschritte erzielt. Hier sind einige, die mir bekannt sind:$NC$

Für allgemeine Diagramme hat Agrawal-Hoang-Thierauf gezeigt, dass es angesichts des Versprechens, dass die Anzahl der perfekten Übereinstimmungen gering ist, einen -Algorithmus gibt, mit dem alle aufgezählt werden können.$NC^2$

Für die Klasse der planaren Graphen spielt der Pfaffian eine große Rolle. Kastelyn hat gezeigt, wie jeder ebene Graph so ausgerichtet werden kann, dass der Pfaffian genau der Anzahl der perfekten Übereinstimmungen entspricht. (Dies wurde durch Valiant verwendet in geben „ Holographic Algorithmen “ für verschiedene Probleme) Mahajan-Subramanya-Vinay zeigte , wie die in Pfaffsche kann berechnet werden unter Verwendung von Modifikationen der clow Sequenzen. (Kastelyn in der Tat gibt einen Algorithmus , um die Einbettung in finden P aber ich bin nicht sicher , ob die Pfaffsche Einbettung auch in berechnet werden kann N C , und wenn ja, das , dass das Zählen perfekt passende in planaren Graphen ist in bedeuten würde , N C ) .$NC$$P$$NC$$NC$

Und ein aktuelles Ergebnis von Vinodchandran-Tewari zeigt, dass das Isolations-Lemma für planare Graphen "derandomisiert" werden kann (unter Verwendung von Green's Theorem!), Um die planare Erreichbarkeit in . Aber N C Algorithmen für planare passende noch offen ist (dank Raghunath zur Korrektur meiner Behauptung , dass es in die U L ). Ein N C - Algorithmus für bipartite planar passende wurde gegeben durch Datta-Kulkarni-Roy$UL$$NC$$UL$$NC$

Hoffe das hilft.

Ein paar Jahre später :) und Perfect Matching ist nun bekanntermaßen in Quasi-NC (dh Sie benötigen quasi-polynomiell viele Prozessoren). Siehe das Papier von Fenner, Gurjar und Thierauf (für zweigliedrige Grafiken) https://arxiv.org/pdf/1601.06319.pdf und unsere Arbeit mit Ola Svensson (für allgemeine Grafiken): https://arxiv.org/pdf/1704.01929

Die Derandomisierung des Isolations-Lemmas durch Tewari-Vinodchandran gibt leider keine UL-Obergrenze für die planare Anpassung. Tatsächlich glaube ich nicht einmal, dass ein NC-Algorithmus für planares Matching nicht bekannt ist. In einer kürzlich durchgeführten Arbeit mit Datta, Kulkarni und Nimbhorkar zeigen wir jedoch eine UL-Obergrenze für die bipartite planare Anpassung (die Überarbeitung dieses Ergebnisses ist noch nicht abgeschlossen). Dies ist interessant, da vorher noch keine NL-Grenze für dieses Problem bekannt war.

Wenn bekannt ist, dass ein Optimierungsproblem schwierig ist, ist es üblich, die Maximalversionen zu betrachten. Während die unabhängige Menge beispielsweise NP-Complete ist, ist die erste maximale unabhängige Menge von Lex P-Complete.

$\sqrt n$

All diese Punkte besagen, dass es hierfür möglicherweise keine leicht parallelisierbare NC-Version gibt. Aber wer weiß es dann? Jemand könnte nächste Woche die RNC-Version derandomisieren!

Bearbeiten: Danke Ramprasad. Aber hier ist ein weiterer Link zum Artikel.

$(1-\epsilon)-$$NC$$n^{\Theta(1/\epsilon)}$$O(\log^3 n)$

T. Fischer, AV Goldberg, DJ Haglin und S. Plotkin. Annähernde Übereinstimmungen parallel. Info. Proc. Lett., 46 (3): 115, 1993