Neugierig auf computergestützte NP-Vollständigkeitsnachweise

In der Arbeit "Die Komplexität von Zufriedenheitsproblemen" von Thomas J. Schaefer hat der Autor darauf hingewiesen

This raises the intriguing possibility of computer-assisted NP-completeness proofs. Once the researcher has established the basic framework for simulating conjunctions of clauses, the relational complexity could be explored with the help of a computer. The computer would be instructed to randomly generate various input configurations and test whether the defined relation was non-affine, non-bijunctive, etc.

Dies ist natürlich eine Einschränkung:

The fruitfulness of such an approach remains to be proved: the enumeration of the elements of a relation on lO or 15 variables is Surely not a light computational task.

Das bin ich neugierig

1. Gibt es Folgeuntersuchungen zur Entwicklung dieser Idee von "computergestützten NP-Vollständigkeitsnachweisen"? Wie ist der Stand der Technik (kann spezifisch für oder 3-Partition sein )? Bedeutet dies, dass Schäfer die Idee eines "computergestützten" NP-Vollständigkeitsnachweises (zumindest für Verringerungen von SAT ) vorgeschlagen hat, dass diesen Verringerungen einige allgemeine Prinzipien / Strukturen zugrunde liegen (für diejenigen von 3SAT oder 3-Partition )? Wenn ja, was sind sie? $\textsf{3SAT}$$\textsf{3-Partition}$
   $\textsf{SAT}$$\textsf{3SAT}$$\text{3-Partition}$
2. Hat jemand Erfahrung im Nachweis der NP-Vollständigkeit mit einem Computerassistenten? Oder kann sich jemand ein künstliches Beispiel ausdenken?

Was Frage 2 angeht , gibt es mindestens zwei Beispiele für -Vollständigkeitsnachweise, bei denen es sich um Computerassistenten handelt.$NP$

Erickson und Ruskey legten einen computergestützten Beweis dafür vor, dass Domino Tatami Covering NP-vollständig ist. Sie gaben eine polynomielle Zeitverkürzung von planarem 3-SAT zu Tatami-Domino-Belag. Ein SAT-Solver (Minisat) wurde verwendet, um die Geräteerkennung bei der Reduzierung zu automatisieren. Es ist kein anderer -Vollständigkeitsnachweis dafür bekannt.$NP$

Ruepp und Holzer haben bewiesen, dass das Bleistiftpuzzle Kakuro -vollständig ist. Einige Teile des N P -completeness Nachweises wurden erzeugt automatisch ein SAT-Solver verwendet (wieder Minisat).$NP$$NP$

In diesem Papier zeigte ich , dass , wenn für einig ein Diagramm mit maximalem Grad k und chromatischer Kantenfestigkeit streng größer als K , dann ist es Θ p 2 -komplette zu entscheiden , wenn die chromatische Kantenfestigkeit höchstens k . Solche Graphen waren für k > 3 bekannt, und ich führte eine Computersuche durch, um einen geeigneten 12- Vertex-Graphen für k = 3 zu finden .$k\geq 3$$k$$k$$\Theta_2^p$$k$$k>3$$12$$k=3$

Die Komplexität der chromatischen Stärke und die chromatischen Kantenfestigkeit. Computational Complexity, 14 (4): 308 & ndash; 340, 2006

Aus dem obigen Kommentar:

Ich habe die Choco Java-Bibliothek für die Constraint-Programmierung verwendet , um das korrekte Verhalten der Gadgets zu überprüfen, mit denen die NP-Vollständigkeit der folgenden Rätsel nachgewiesen wurde: Binärpuzzle, Zelte, Rollendes Würfel-Puzzle ohne freie Zellen, Netz. Ich hatte noch keine Zeit, sie zu veröffentlichen, aber die Entwürfe sind in meinem Blog verfügbar.

$0$$1$$n \times n$

(A) ein logisches Gatter (AND + OR) und Verknüpfungen, wenn wir PLANAR SAT als Quell-NPC-Problem verwenden möchten; oder

(B) ein Knoten der Stufe 3, in dem genau 1 Eingang und 1 Ausgang gleichzeitig aktiviert werden können, wenn wir HAMILTONIAN CYCLE für Gittergraphen als Quell-NPC-Problem verwenden möchten (beachten Sie, dass in diesem Fall ein anderes vorhanden sein muss) Bedingung, die einen "verbundenen Pfad" erzwingt).

In beiden Fällen verwenden wir eine Anfangskonfiguration, die die Grenzen der Minianwendungen festlegt (um unerwünschte Interaktionen zu verhindern) und die Interaktion zwischen zwei benachbarten Minianwendungen nur über ein zentrales Element (oder eine Gruppe von Elementen) zulässt. Die Konfiguration eines solchen zentralen Elements sollte im Fall (A) einen logischen Wert oder im Fall (B) einen Durchlauf darstellen.

Zum Beispiel, um ein AND zu modellieren:

***C***   *=fixed elements (initial config. of the puzzle)
*xxxxx*   x=internal logic (some elements can be fixed,
AxxxxxB     other must be completed/traversed)
*xxxxx*   A,B,C=elements shared with adjacent gadgets
*******

Um das Gadget mit einem SAT-Löser zu überprüfen (es ist besser, eine CPL zu verwenden), genügt es, die Regeln des Puzzles zu implementieren und dann die Erfüllbarkeit zu überprüfen, wenn A, B, C alle möglichen Wertekombinationen annehmen. und prüfen Sie, ob sie mit dem gewünschten Verhalten übereinstimmen. Beispiel: Im AND-Fall müssen in allen für Gadgets gültigen (erfüllbaren) Konfigurationen, in denen C wahr ist (C steht für den logischen Wert true), sowohl A als auch B wahr sein.

Wenn Gadgets sehr kompliziert sind (zB im Rolling Cube Puzzle), denke ich, dass dies der einzige Weg ist, um sicherzustellen, dass sie korrekt funktionieren (und dass der NPC-Beweis korrekt ist).

Genau das habe ich in meiner Bachelorarbeit gemacht - computerunterstütztes Nachweisen der NP-Vollständigkeit!

Der schlechte Teil - es ist auf Russisch und wurde nicht ins Englische übersetzt. http://is.ifmo.ru/diploma-theses/_dvorkin_bachelor.pdf

Ich habe mit logischen Gattern in 2D-Problemen gearbeitet. Der Plan ist:

• Entwerfen Sie manuell, wie ein "Draht" in Ihrem Problem aussieht.
• Verwenden Sie eine sehr intelligente und optimierte Suche (in der Tat dynamische Programmierung über Profilsätze), um automatisch alle erforderlichen logischen Gatter zu entwerfen.
• PROFITIEREN!

Der Code ist übrigens verfügbar: https://code.google.com/p/metadynamic-programming/

Auf diese Weise konnte ich mit manueller Arbeit, nur um den Draht zu entwerfen und die Regeln des spezifischen 2D-Problems zu codieren, die NP-Vollständigkeit von Folgendem nachweisen:

• Minensuchboot
• Abdeckbereich mit horizontalen Dominosteinen und vertikalen Triminos
• $k$$k \ge 4$$k \in [4,6]$

Der Fragesteller hat angegeben, dass er mit einer breiteren Interpretation der Schaefer-Aussage in einer Antwort einverstanden ist. Habe zufällig Links für einen Blog zu einem nahe gelegenen Thema gesammelt und werde einige hier aufschreiben.

Die ursprüngliche Aussage (Abschnitt 7, S. 225) ist in ihren Absichten klar, wie am Beispiel einer vollständigen NP-Reduktion von 2 färbbaren perfekten Matching-Thm 7.1 unter Verwendung der "Dichotomie-Thm" 2.1 dargestellt.

$F(x)$

$F(x)$$x$

Diese allgemeinen Vorstellungen sind in vielen Bereichen der Forschung gewachsen und erforscht, seit diese Überlegungen / "Samenideen" von 1978 zu ganzen großen Zweigen und Forschungsprogrammen geführt haben, die noch andauern und von denen keines in irgendeiner Form existierte zum Zeitpunkt des Schreibens von Schaefers Papier. Die ^erste allgemeine Idee ist die empirische Analyse der NP-Vollständigkeitseigenschaften über Instanzgeneratoren / -löser / -analysatoren .

• Das größte Forschungsgebiet, das hier entsteht, sind zufällige SAT-Instanzen und der Blick auf die Leistung der SAT-Löser, die Mitte der neunziger Jahre zur Entdeckung des Übergangspunkts geführt haben, von dem später gezeigt wurde, dass er tiefe Verbindungen zur statistischen Physik und einen anscheinend allgegenwärtigen / intrinsischen / fundamentalen Aspekt aufweist / Charakteristik aller NP-Gesamtprobleme. Es gibt sehr viele Artikel in diesem Bereich und jetzt ein paar Bücher. siehe zB Information, Physik und Computation Mezard / Montanari

• Zerlegen von Erfüllbarkeitsproblemen oder Verwenden von Diagrammen, um einen besseren Einblick in Erfüllbarkeitsprobleme zu erhalten , Herwig 2006 (83 Seiten). Dies ist ein etwas neuartiger Ansatz für andere veröffentlichte Untersuchungen, bei denen die Variablen-Klausel-Graphstruktur generierter SAT-Instanzen untersucht und ihre Struktur / Metriken analysiert werden, um Korrelationen mit der Härte zu finden.

• Man kann mutmaßlich schwierige Probleme nehmen und sie als SAT-Instanzen codieren und dann ihre Struktur untersuchen oder SAT-Löser auf ihnen ausführen und das dynamische Verhalten der SAT-Löser beobachten. Es ist nicht leicht herauszufinden, wann dies der erste Fall war, aber ein früher Fall ist das Factoring, wahrscheinlich Mitte der 1990er Jahre, und diese Fälle tauchten bei den DIMACS SAT-Solver-Wettbewerben auf. Leider galt dies zu diesem Zeitpunkt nicht unbedingt als separat publizierbare Forschungsergebnisse. es gibt Anspielungen in einigen SAT-Veröffentlichungen.

  siehe zB Satisfy This: Ein Versuch zur Lösung von Prime Factorization mit Satisfiability Solvers von Stefan Schoenmackers, Anna Cavender und auch cs.se Frage zur Reduzierung des Problems der Faktorisierung ganzer Zahlen auf NP- Gesamtproblem & (es gibt einige andere verwandte / verstreute (T) CS-Stapelaustauschfragen zu Dies).

2 ^nd eine weitere moderne allgemeine Idee / Samen in Schaefers alte Aussage inhärenten ist hart algorithmische oder mathematische Probleme im Allgemeinen Angriff von ihnen SAT - Instanzen und mit off-the-shelf (aber state-of-the-art) SAT - Solver Umwandlung (dh SAT Lösung kann im Großen und Ganzen als buchstäblich eine der frühesten Fälle in der Logik / math von betrachtet werden Computer automatischen Theorembeweisens wo SAT Formel Lösungen sind wie „Sätze“, obwohl zugegebenermaßen die moderne pov auf , dass etwas verschoben haben) und es gibt einige bemerkenswerte letzten Erfolge an dieser Front.

• Das Problem der Erdos-Diskrepanz in Bezug auf Grenzen für zufällige Spaziergänge ist sehr schwierig, und die Fortschritte bei analytischen Ansätzen waren begrenzt. Kürzlich wurde ein neuartiger / beispielloser empirischer Ansatz mit SAT gewählt, um einige wichtige Ergebnisse für ein damit verbundenes offenes Problem zu erzielen, das von vielen als positiv bewertet wurde wahrer Durchbruch. ein SAT-Angriff auf die Erdos-Diskrepanz-Vermutung Konev, Lisitsa

• Die Forschung über optimale Sortiernetzwerke reicht Jahrzehnte zurück, und es gibt naturgemäß offene Probleme bei minimalen Netzwerkgrößen, um eine bestimmte Anzahl von Elementen zu sortieren. In den letzten Jahren wurden große Fortschritte bei der Konvertierung dieser in SAT-Instanzen und der Ausführung von Standardlösern erzielt. Neue Grenzen für optimale Sortiernetzwerke Ehlers, Müller, zitiert auch andere neuere Arbeiten.