Ist die Komplexität dieses Pfadproblems bekannt?

Instanz: Ein ungerichteter Graph mit zwei unterschiedlichen Eckpunkten und einer ganzen Zahl . $G$ $s\neq t$ $k\geq 0$

Frage: Gibt es in einen Pfad , so dass sich der Pfad höchstens Dreiecke schneidet ? (Für dieses Problem wird gesagt, dass ein Pfad ein Dreieck schneidet, wenn der Pfad mindestens eine Kante des Dreiecks enthält.) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-algorithms

— Andras Farago
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Ist das falsch? Wir weisen jeder Kante Gewicht zu und finden dann den kürzesten M. Weg. Das Gewicht jeder Kante ist die Anzahl der Dreiecke, die diese Kante enthalten. Das Gewicht dieses Pfades entspricht nicht der Anzahl der Dreiecke, auf die er trifft, aber es ist ein erster Pfad mit einer minimalen Anzahl von Dreiecken. (Das mögliche Problem ist, dass wir ein oder mehrere Dreiecke zweimal zählen können, weil wir zwei Kanten dieses Dreiecks besuchen. Der Grund, warum wir sie auswählen, ist, dass sie kleiner sind als die andere Kante des Dreiecks und wir auch einfache Pfadmittel haben zwei Kanten eines Dreiecks liegen nebeneinander).

— Saeed

@Saeed Ich verstehe nicht: Was ist das Argument, dass Überzählung Sie nicht dazu bringt, einen suboptimalen Pfad zu wählen? Ihr Algorithmus ist sicherlich eine 2-Näherung. Vielleicht besteht eine Lösung darin, für jeden Pfad

eine Kante

hinzuzufügen

Gewicht der Anzahl der Dreiecke entspricht, die sowohl

als auch

(u, w)

$(u, w)$

u \to v \to w

$u\to v \to w$

(u, v)

$(u,v)$

(v, w)

$(v,w)$

— Sasho Nikolov

α

$\alpha$

α

$\alpha$

u - > v - > w - > x

$u->v->w->x$

P

$P$

u, v, w

$u,v,w$

v, w, x

$v,w,x$

v x

$vx$

u w

$uw$

u - > w

$u->w$

v, w, x

$v,w,x$

u - > v

$u->v$

v - > w

$v->w$

u - > w

$u->w$

Meine Idee wird nicht funktionieren - ich müsste mehrere Sets warten, und ich denke, es werden zu viele davon sein.

— Reinierpost

$G$

$v_i$ $v_j$ $G$ $E[i,j]=1$ $E[i,j]=0$ $n\times n$ $C[i,j]=\sum_{k=1}^n E[i,k]\cdot E[k,j]$ $v_i$ $v_j$ $v_i$ $v_j$ $G$ $D[i,j]=E[i,j]\cdot C[i,j]$ $D[i,j]=\infty$ $C$ $O(n^3)$ $G$

$n\times n$ $A$ $A[i,j]=\min(D[i,j],\min_k(D[i,k]+D[k,j]-E[i,j]))$ $A$ $D$

Berechnen Sie nun einfach den kürzesten Weg zwischen und in in einem neuen Graphen, dessen die (gewichtete) Adjazenzmatrix ist, mit Dijkstra (da alle Kantengewichte positiv sind), dh und bestimmen Sie, ob , wobei der Verschluss über dem tropischen Semiring ist (was die Distanzmatrix ergibt). $v_i$ $v_j$ $G$ $A$ $A^*[i,j]\leq k$ $A^*$

— Edgar
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