Für bezeichnen , indem die kleinstes Element .
Für zwei Elementmengen sagen wir, dass wenn für jedes .
A -Einheitliche Hypergraphen ist eine sogenannte shift-Kette , wenn für irgendwelche Hyperkanten, , haben wir oder . (Eine Shift-Kette hat also höchstens Hyperedges.)
Wir sagen, dass ein Hypergraph zweifarbig ist (oder dass er die Eigenschaft B hat), wenn wir seine Eckpunkte mit zwei Farben so färben können, dass kein Hyperedge einfarbig ist.
Stimmt es, dass Schaltketten zweifarbig sind, wenn groß genug ist?
Bemerkungen. Ich habe dieses Problem zum ersten Mal auf mathoverflow gepostet , aber niemand hat es kommentiert.
Das Problem wurde auf dem 1. Emlektabla-Workshop für einige Teilergebnisse untersucht, siehe die Broschüre .
Die Frage ist motiviert durch die Zerlegung von Mehrfachbedeckungen der Ebene durch Umsetzungen von konvexen Formen, es gibt viele offene Fragen in diesem Bereich. (Weitere Informationen finden Sie in meiner Doktorarbeit .)
Für gibt es ein triviales Gegenbeispiel: (12), (13), (23).
Ein sehr magisches Gegenbeispiel für Radoslav Fulek mit einem Computerprogramm:
(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),
(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789).
Wenn wir zulassen, dass der Hypergraph die Vereinigung von zwei Schaltketten (mit derselben Reihenfolge) ist, dann gibt es ein Gegenbeispiel für .
Aktualisieren. Ich habe kürzlich gezeigt, dass eine eingeschränktere Version von Schichtketten in diesem Vorabdruck zweifarbig ist .
Dauerprämie! Ich freue mich, jederzeit ein Kopfgeld von 500 für eine Lösung zu vergeben!