Bedeckungszeit von gerichteten Graphen

Bei einer zufälligen Bewegung in einer Grafik ist die Bedeckungszeit das erste Mal (erwartete Anzahl von Schritten), dass jeder Scheitelpunkt von der Bewegung getroffen (bedeckt) wurde. Für verbundene ungerichtete Graphen ist bekannt, dass die Überdeckungszeit durch . Es gibt stark miteinander verbundene Digraphen mit einer Exponentialzeit in n . Ein Beispiel hierfür ist der Digraph eines gerichteten Zyklus , der aus ( 1 , 2 , . . . , N , 1 ) und Kanten ( j , 1 ) , von Vertices j $O(n^3)$$n$$(1, 2, ..., n, 1)$$(j, 1)$ . Ausgehend von Scheitelpunkt 1 beträgtdie erwartete Zeit für eine zufällige Wanderung zum Scheitelpunkt n Ω ( 2 n ) . Ich habe zwei Fragen :$j = 2, ..., n − 1$$1$$n$$\Omega(2^n)$

1) Welche Klassen von gerichteten Graphen mit polynomieller Überdeckungszeit sind bekannt? Diese Klassen können durch graphentheoretische Eigenschaften (oder) durch Eigenschaften der entsprechenden Adjazenzmatrix (z. B. ) charakterisiert werden . Wenn beispielsweise A symmetrisch ist, ist die Bedeckungszeit des Graphen polynomisch.$A$$A$

2) Gibt es einfachere Beispiele (wie das oben erwähnte Zyklusbeispiel), bei denen die Abdeckzeit exponentiell ist?

3) Gibt es Beispiele mit quasi-polynomialer Überdeckungszeit?

Ich würde mich über Hinweise auf gute Umfragen / Bücher zu diesem Thema freuen.

Offensichtlich impliziert die Mischzeit des Polynoms die Deckzeit des Polynoms. (Gut, im allgemeinen nicht. Wir müssen die stationäre Wahrscheinlichkeit von mindestens an jedem Scheitelpunkt.) Überprüfen , so Mihail Papier Leitwert und Konvergenz der Markow - Ketten-eine kombinatorische Behandlung von Expandern , die die regelmäßigen schnelle Vermischung beweist gerichtete Graphen und allgemeine Markov-Ketten basierend auf der Leitfähigkeit.$1/poly(n)$

Siehe auch die Zeitung Pseudozufall geht auf regulären Digraphen und das RL vs. L-Problem von Reingold, Trevisan und Vadhan. Ich folge Mihails Arbeit. Sie definierten den Parameter der äquivalent zu λ 2 ( G ) ist , dem zweitgrößten absoluten Eigenwert, wenn der Graph G zeitumkehrbar ist und für allgemeine Markov-Ketten gut definiert bleibt. Dieser Parameter wird dann verwendet, um die Mischzeit von G zu begrenzen .$\lambda_\pi(G)$$\lambda_2(G)$$G$$G$

Colin Cooper und Alan Frieze haben eine Reihe von Ergebnissen im Zusammenhang mit zufälligen Digraphen, die von Interesse sein könnten. Sie untersuchen die Eigenschaften eines einfachen Zufallslaufs auf dem zufallsgerichteten Graphen wenn n p = d log n , d > 1 . Sie haben bewiesen, dass:$D_{n,p}$$np=d \log n, d>1$

• Für , WHP die Abdeckung Zeit von D n , p zu asymptotischen ist d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n . Wenn d = d ( n ) → ∞ mit n ist , ist die Abdeckzeit asymptotisch zu n log n .$d > 1$$D_{n,p}$$d \log (d/(d-1)) n \log n$$d=d(n) \rightarrow \infty$$n$$n \log n$

• Wenn und d > 1 dann whp C G n , p ~ d log ( d / ( d - 1 ) ) n log n .$p = d \log n/n$$d>1$$C_{G_{n,p}} \sim d \log (d/(d-1)) n \log n$

• Sei und sei x die Lösung in ( 0 , 1 ) von x = 1 - e - d x . Sei X g die Riesenkomponente von G n , p , p = d / n . Dann whp C X g ∼ d x ( 2 - x $d>1$$x$$(0,1)$$x = 1-e^{-dx}$$X_g$$G_{n,p},p=d/n$.$C_{X_g} \sim \dfrac{dx(2-x)}{4(dx-\log d)} n (\log n)^2$

• Wenn eine Konstante ist und G n , bezeichnet r einen zufälligen r- regulären Graphen auf der Scheitelmenge [ n ] mit r ≥ 3, dann whp C G n , r ∼ r - $r \geq 3$$G_{n,r}$$r$$[n]$$r \geq 3$.$C_{G_{n,r}} \sim \dfrac{r-1}{r-2} n \log n$

• $m \geq 2$$G_m$$2m$$C_{G_m} \sim \dfrac{2m}{m-1} n \log n$

• $k \geq 3$$G_{r,k}$$\mathcal{R}^k$$r$$d \log n$$C_{G_{r,k}} \sim d \log ( \dfrac{d}{d-1}) n \log n$

Siehe Cooper, C. & Frieze, A. Stationäre Verteilung und Deckungszeit von zufälligen Spaziergängen auf zufälligen Digraphen. Journal of Combinatorial Theory, Reihe B. (2011).