Wie vermeidet das BosonSampling-Papier einfache Klassen komplexer Matrizen?

Scott Aaronson und Alex Arkhipov argumentieren in Die rechnerische Komplexität der linearen Optik ( ECCC TR10-170 ), dass, wenn Quantencomputer von klassischen Computern effizient simuliert werden können, die Polynomhierarchie auf die dritte Ebene zusammenbricht. Das motivierende Problem ist das Abtasten aus einer Verteilung, die durch ein linear-optisches Netzwerk definiert ist; Diese Verteilung kann als permanente einer bestimmten Matrix ausgedrückt werden. Im klassischen Fall sind alle Einträge der Matrix nicht negativ, so dass ein probabilistischer Polynom-Zeit-Algorithmus existiert, wie von Mark Jerrum, Alistair Sinclair und Eric Vigoda (JACM 2004, doi: 10.1145 / 1008731.1008738) gezeigt). Im Quantenfall sind die Einträge komplexe Zahlen. Beachten Sie, dass im allgemeinen Fall (wenn die Einträge nicht unbedingt negativ sein müssen) die bleibende Zahl nicht einmal innerhalb eines konstanten Faktors durch Valiants klassisches Ergebnis von 1979 approximiert werden kann.

Das Papier definiert eine Verteilung durch eine Matrix definiert , A , und ein Probenahmeproblem$D_A$$A$

BosonSampling
Input: Matrix Sample: aus Verteilung D $A$
$D_A$

Die Verwendung eines Härteergebnisses scheint ein schwacher Beweis für eine Trennung zwischen der klassischen und der Quantenwelt zu sein, da es möglich ist, dass die Klasse der Matrizen in der spezifischen Quantenanordnung alle eine spezielle Form haben wird. Sie können komplexe Einträge haben, aber dennoch eine Menge Struktur besitzen. Es könnte daher ein effizientes Abtastverfahren für solche Matrizen existieren, obwohl das allgemeine Problem # P-schwer ist.

Wie vermeidet die Verwendung von BosonSampling in der Arbeit einfache Klassen?

Das Papier verwendet viel Hintergrundmaterial, das ich in der Quantenkomplexität nicht habe. Angesichts all der Quantenmenschen auf dieser Site würde ich einen Zeiger in die richtige Richtung wirklich schätzen. Wie würden sich die Argumente behaupten, wenn man herausfinden würde, dass die Klasse der komplexwertigen Matrizen in einem bestimmten Versuchsaufbau tatsächlich einer Klasse von Verteilungen entsprach, aus denen sich leicht Stichproben ziehen ließen? Oder ist dem Quantensystem etwas inhärent, das garantiert, dass dies nicht passieren kann?

Danke für deine Frage! Es gibt zwei Antworten, je nachdem, ob Sie an den Härteergebnissen für das genaue oder das ungefähre BosonSampling interessiert sind.

Im genauen Fall beweisen wir, dass Sie mit jeder n-mal-n-komplexen Matrix A ein optisches Experiment konstruieren können, das eine bestimmte Ausgabe mit einer Wahrscheinlichkeit proportional zu | Per (A) | erzeugt ² . Dies impliziert wiederum, dass kein klassischer Polynom-Zeit-Algorithmus aus genau derselben Verteilung wie das optische Experiment (unter Angabe einer Beschreibung des Experiments als Eingabe) ^{abtasten kann} , es sei denn, P ^#P = BPP ^NP . Tatsächlich können wir das verstärken, um eine einzelne Verteilung D _n (abhängig nur von der Eingangslänge n) zu erhalten, die mit einem optischen Experiment der Größe poly (n) abgetastet werden kann, die jedoch nicht klassisch in poly (n) abgetastet werden kann ) Zeit, es sei denn, P ^#P = BPP ^NP .

Im ungefähren Fall ist die Situation komplizierter. Unser Hauptergebnis besagt, dass, wenn es einen klassischen Polynom-Zeit-Algorithmus gibt, der das optische Experiment auch nur annähernd simuliert (im Sinne einer Abtastung aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ausgaben, die 1 / poly (n) -nah in der Variationsdistanz liegt), dann in BPP ^NP können Sie | Per (A) | approximieren ² , mit hoher Wahrscheinlichkeit über eine n-mal-n-Matrix A von iid Gaußschen mit Mittelwert 0 und Varianz 1.

Wir vermuten, dass das obige Problem # P-schwer ist (zumindest nicht in BPP ^NP ), und auf den Seiten 57-82 unserer Arbeit geht es nur um die Beweise für diese Vermutung.

Natürlich ist unsere Vermutung vielleicht falsch, und man kann tatsächlich einen Polyzeit-Algorithmus angeben, um die Permanenten von iid-Gauß-Matrizen zu approximieren. Das wäre ein phänomenales Ergebnis! Der springende Punkt bei 85% unserer Arbeit war jedoch, alles auf eine Härtevermutung zu stützen, die so sauber, einfach und "quantenfrei" wie möglich war. Mit anderen Worten, anstelle der Annahme

"Es ist # P-schwer, die bleibenden Werte einiger seltsamer, spezieller Matrizen zu approximieren, die zufällig in unserem Experiment entstehen."

Wir zeigen, dass es ausreicht, um die Annahme zu treffen

"Die Approximation der Permanenten von iid Gaußschen Matrizen ist # P-hart."