Bewertung der Multilinearisierung einer Rechenschaltung?

Lassen $p(x_1,\ldots,x_n)$ mit Koeffizienten über ein Feld ein multivariate Polynom $F$ . Die multilinearization von $p$ , bezeichnet durch p , das Ergebnis des wiederholten Ersetzen jedes x d i mit d > 1 von x i . Das Ergebnis ist offensichtlich ein multilineares Polynom.$\hat{p}$$x_i^d$$d > 1$$x_i$

Betrachten wir das folgende Problem: Da eine arithmetische Schaltung $C(x_1,\ldots,x_n)$ über $F$ und gegebenen Feldelemente $a_1,\ldots,a_n$ , compute C ( a 1 , ... , a n ) .$\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

Frage: Unter der Annahme, dass Feldarithmetik in Zeiteinheiten durchgeführt werden kann, gibt es dafür einen Polynom-Zeit-Algorithmus? Später hinzugefügt: Mich würde auch der Sonderfall interessieren, bei dem $C$ eigentlich eine Formel ist (eine Schaltung von Fan-Out $1$ ).

Für den Fall, dass das Feld F mindestens 2 n groß ist , halte ich dieses Problem für schwierig. Insbesondere denke ich, dass CNF-SAT effiziente randomisierte Algorithmen hat , wenn das Obige effizient für F dieser Größe gelöst werden kann. Nehmen wir an, wir erhalten eine CNF-Formel φ . Man kann sich leicht mit einer arithmetischen Schaltung kommen C , die eine `` Arithmetisierung ‚‘ berechnet p von φ , wobei das Polynom p mit der Formel übereinstimmt φ auf 0 - 1 Eingänge. Betrachten Sie die Multilinearisierung q von p . Beachten Sie, dass $F$$2n$$F$$\varphi$$C$$p$$\varphi$$p$$\varphi$$0$$1$$q$$p$$q$stimmt mit p überein und daher φ auf { 0 , 1 } n .$p$$\varphi$$\{0,1\}^n$

Ich behaupte, dass q nicht Null ist, wenn φ erfüllbar ist. Wenn q = 0 ist , kann φ natürlich nicht erfüllt werden. Umgekehrt kann man zeigen, dass ein nicht-null Multilinearpolynom nicht auf allen { 0 , 1 } n verschwinden kann . Dies impliziert, dass ein von Null verschiedenes q (und damit das entsprechende φ ) bei einer Eingabe in { 0 , 1 } n nicht verschwindet .$q$$\varphi$$q=0$$\varphi$$\{0,1\}^n$$q$$\varphi$$\{0,1\}^n$

Daher ist das Prüfen der Erfüllbarkeit von φ gleichbedeutend mit dem Prüfen, ob q nicht Null ist. Sagen wir nun, wir könnten q über ein großes Feld F auswerten . Dann können wir mit dem Schwartz-Zippel-Lemma q mit einem effizienten randomisierten Algorithmus identifizieren und prüfen, ob es sich um das Nullpolynom handelt (die Größe von F wird verwendet, um den Fehler im Schwartz-Zippel-Lemma nach oben zu begrenzen).$\varphi$$q$$q$$F$$q$$F$

Assume that there is polytime algorithm that given $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ and $\vec{a}$ computed the result of the multi-linearization of $C$ on $\vec{a}$. (w.l.o.g. I will assume that the output $\vec{b}$ will be a vector of $p$-bit binary numbers $b_i$ is $k$ iff the $b_{i,k}$ is one.)

Since $P \subseteq P/poly$, there is a polysize boolean circuit that given the encoding of the arithmetic circuit and the values for the variables computes the multi-linearization of the arithmetic circuit on the inputs. Let call this circuit $M$.

Let $C$ be an arbitrary arithmetic circuit. Fix the variables of the boolean circuit $M$ which describe the arithmetic circuit, so we have a boolean circuit computing the multi-linearization of $C$ on given inputs.

We can turn this circuit into an arithmetic circuit over $F_p$ by noting that $x^{p-1}$ is $1$ for all values but $0$ so first raise all inputs to the power $p-1$. Replace each $f \land g$ gate by multiplication $f.g$, each $f \lor g$ gate by $f+g-f.g$ and each $\lnot f$ gate by $1-f$.

By the assumption we made above about the format of the output, we can turn the output from binary to values over $F_p$. Take the output for $b_i$ and combine them to get $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$.

We can also convert the input given as values over $F_p$ to binary form since there are polynomials passing through any finite number of points. E.g. if we are working in $\bmod 3$, consider the polynomials $2x(x+1)$ and $2x(x+2)$ which give the first and the second bits of the input $x \in F_3$.

Combining these we have an arithmetic circuit over $F_p$ computing the multi-linearization of $C$ with size polynomail in the size of $C$.