Einheitliche Hierarchie von Problemen, die Komplexität und Rechenhierarchien umfassen

Kennt jemand eine Reihe von Problemen, die einheitlich variieren und eine der "interessanten" Hierarchien von Komplexität und Berechenbarkeit umfassen? Mit interessant meine ich zum Beispiel die Polynomhierarchie, die arithmetische Hierarchie oder die analytische Hierarchie. Oder vielleicht (N) P, (N) EXP, 2 (N) EXP, $\ldots$

$0, 0', \overline{0'}, 0'', \overline{0''},\ldots$

Andererseits weist das Buch von Harel, Kozen und Tiuryn eine Reihe unterschiedlicher Kachelprobleme auf, die NP, , und . Die Probleme sind nützlich, um Reduzierungen anzuzeigen, aber es ist nicht ganz klar, ob sie einheitlich verallgemeinert werden, um die anderen Ebenen der Hierarchien abzudecken, in denen sie sitzen. $\Pi^0_1$ $\Sigma^0_2$ $\Sigma^1_1$

Kennt jemand eine solche Reihe konkreter, einheitlicher Probleme, die sich über eine Hierarchie erstrecken?

EDIT: Nur zur Verdeutlichung weiß ich, dass die 3 Hierarchien, die ich vor allem gebe, Standarddefinitionen in Bezug auf die Stärke des alternierenden Quantifizierers haben. Das suche ich nicht. Ich suche etwas anderes, wie ein Spiel in einer Grafik oder ein Puzzle, das mit Kacheln gespielt wird.

cc.complexity-theory computability

— Mark Reitblatt
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Es gibt graphbasierte Probleme (z. B. Erreichbarkeit) und logikbasierte Probleme (Bewertung einer Schaltung oder einer Formel erster Ordnung). ps: hast du versucht, aus dem Kacheln ein Spiel zwischen zwei Spielern mit einer bestimmten Anzahl von Runden oder einer begrenzten Rechenleistung zu machen? Übrigens könnte es hilfreich sein, wenn Sie klarstellen, was Sie mit den Wörtern "Uniform" und "Beton" meinen.

— Kaveh

Ja, es gibt Grafik- oder Schaltungsprobleme, bei denen die Variationen für einige Ebenen vollständig sind. Aber können Sie Analoga finden, die für alle Ebenen einer Hierarchie vollständig sind? Mit Uniform meine ich, dass Sie, um in die Hierarchie aufzusteigen, nur einige Parameter auf einheitliche Weise ändern. Beispielsweise erhöhen Sie die Anzahl von X um eins, wobei X ein Parameter des Problems ist. Mit konkret meine ich nur informell zugänglich. Ich halte Hierarchien des Halteproblems nicht für besonders zugänglich. Auf der anderen Seite ist so etwas wie SAT oder QBF konkreter.

— Mark Reitblatt

Fortsetzung von Kavehs Kommentaren: Eine solche Sprache ist wahrscheinlich auch p-isomorph zu TQBF, es sei denn, jemand will beweisen, dass die Vermutung des Berman-Hartmanis-Isomorphismus auf einer bestimmten (oder jeder) PH-Ebene fehlschlägt. In diesem Fall wäre es eine sehr dünne Verkleidung, da es sich lediglich um eine Neucodierung von TQBF handelt, dh Sie haben die quantifizierten Satzformeln mit einer anderen booleschen Codierung aufgeschrieben.

— Joshua Grochow

@ Mark: Ich habe keine gute Intuition für die Isomorphismus-Vermutung. Das ursprüngliche BH-Papier schlug vor, dass es wahr sein könnte; Joseph und Young schlugen dann vor, dass Einwegfunktionen zeigen könnten, dass es falsch ist (im Grunde: Wenden Sie eine Einwegfunktion auf SAT an, um einen NP-vollständigen Satz zu erhalten, der wahrscheinlich nicht isomorph zu SAT ist), aber dann zeigte Rogers relativierte Welten, die alles realisierten vier Möglichkeiten bezüglich der Existenz von Einwegfunktionen und der Isomorphismus-Vermutung. Ich weiß also nicht, ob es im Moment wirklich einen Konsens gibt. Hier ist das Rogers-Papier: dx.doi.org.proxy.uchicago.edu/10.1006/jcss.1997.1486

— Joshua Grochow

(John Rogers 'Artikel scheint ungefähr 2 Jahre später zu sein als die Diskussion im CC-Blog, aber ich weiß nicht genau, wann er das Ergebnis erhalten hat, im Gegensatz zu dem Zeitpunkt, als es erstmals veröffentlicht wurde.)

— Joshua Grochow

[Aufbauend auf Kavehs Einsicht in den Kommentaren.] Es ist unwahrscheinlich, dass jemand eine Familie von Problemen findet, die sich erheblich von der quantifizierten Booleschen Formel unterscheidet, ohne das PH-Analogon der Berman-Hartmanis-Isomorphismus-Vermutung zu widerlegen. Ohne das wäre jedes Problem, das Sie sich einfallen lassen, nicht nur gleichbedeutend mit , sondern tatsächlich isomorph dazu. Eine Möglichkeit, den Isomorphismus zwischen zwei Sprachen zu definieren, besteht darin, eine einzelne abstrakte Sprache zu verwenden, ihre Objekte (in diesem Fall quantifizierte Boolesche Formeln) jedoch mit zwei verschiedenen Booleschen Codierungen zu codieren. $QBF_k$

Auf der anderen Seite ist Isomorphismus nicht unbedingt ein guter Richter darüber, was für Menschen nützlich ist, um Beweise zu finden. Schließlich beweist Myhills Isomorphismus-Theorem in der arithmetischen Hierarchie das arithmetische Analogon der BH-Isomorphismus-Vermutung (tatsächlich ist das Geschichte rückwärts, da BH von Myhill motiviert wurde). Wie die Frage zeigt, gibt es jedoch mehrere "unterschiedlich aussehende" Charakterisierungen auf verschiedenen Ebenen, von denen einige für Beweise nützlicher sind als andere.

Obwohl es unwahrscheinlich ist, dass irgendjemand für jedes PH-Niveau eine so einheitliche Sprachfamilie findet, diskutieren die beiden Umfragen ( eins , zwei ) von Schaefer und Umans natürliche Probleme, die in den ersten paar Fällen zumindest "anders aussehen" als QBF PH-Werte.

— Joshua Grochow
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Schöne Verbindung zu BH. :)

— Kaveh