Algorithmische Vorteile der Pfadbreite gegenüber der Baumbreite

Die Treewidth spielt eine wichtige Rolle in FPT-Algorithmen, unter anderem, weil viele Probleme durch die Treewidth der FPT parametrisiert werden. Ein verwandter, eingeschränkterer Begriff ist der der Pfadbreite. Wenn ein Graph eine Pfadbreite , hat er auch eine Baumbreite von höchstens , während in der umgekehrten Richtung die Baumbreite nur eine Pfadbreite von höchstens impliziert und dies eng ist. $k$ $k$ $k$ $k\log n$

In Anbetracht dessen ist zu erwarten, dass Graphen mit begrenzter Pfadbreite möglicherweise einen signifikanten algorithmischen Vorteil bieten. Es scheint jedoch, dass die meisten Probleme, die FPT für einen Parameter sind, FPT für den anderen sind. Ich bin neugierig auf irgendwelche Gegenbeispiele dazu, das heißt auf Probleme, die für die Pfadbreite "einfach", für die Baumbreite "schwer" sind.

Lassen Sie mich erwähnen, dass ich motiviert war, diese Frage zu stellen, indem ich auf einen kürzlich erschienenen Artikel von Igor Razgon ("Über OBDDs für CNFs mit begrenzter Baumbreite", KR'14) stieß, der ein Beispiel für ein Problem mit einem Lösung, wenn die Pfadbreite und eine (grob) untere Schranke ist, wenn die Baumbreite ist. Ich frage mich, ob es andere Exemplare mit diesem Verhalten gibt. $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

Zusammenfassung: Gibt es Beispiele für natürliche Probleme, bei denen W-hard durch die Baumbreite und FPT durch die Pfadbreite parametrisiert sind? Gibt es allgemein Beispiele für Probleme, deren Komplexität bekanntermaßen viel besser ist, wenn sie durch die Pfadbreite anstelle der Baumbreite parametrisiert werden?

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— Michael Lampis
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Es gibt Probleme, die auf Wegen einfach sind, aber auf Bäumen NP-schwer. Dazu gehören Minimum Multicut und Maximum Integer Multiflow.

— Chandra Chekuri

@ChandraChekuri Dies ist ein guter Punkt, aber verallgemeinern sich die Algorithmen für Pfade für solche Probleme normalerweise auf die Pfadbreite? Zum Beispiel denke ich, dass dies für max integer multiflow nicht der Fall ist. Garg, Vazirani und Yannakakis haben die NP-Härte für Bäume in "Primal-Dual-Approximationsalgorithmen für integralen Fluss und Multicut in Bäumen" nachgewiesen. Für die Reduktion wird ein Baum der Höhe 3 verwendet. Dies bedeutet, dass das Problem bei konstanter Pfadbreite NP-schwer ist.

— Michael Lampis

Dies ist wiederum keine saubere Antwort auf die ursprüngliche Frage. Es ist bekannt, dass die Fließschnittlücke in k-Graphen der Pfadbreite für einige Funktionen f über ein Ergebnis von Lee und Sidiropoulos durch f (k) begrenzt wird. Es ist ein wichtiges offenes Problem, ob ein solches Ergebnis für die Baumbreite gilt. Der Fall k = 3 ist für die Baumbreite offen.

— Chandra Chekuri

Der beste Algorithmus für den durch die Pfadbreite parametrisierten Hamilton-Zyklus hat die Laufzeit

(arxiv.org/abs/1211.1506), während die beste Baumbreite

(arxiv.org/abs/1103.0534) Dies ist wahrscheinlich nur eine Lücke, die darauf wartet, geschlossen zu werden.

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— Danielo

Es wird gezeigt, dass [1] das durch die Pfadbreite parametrisierte Mixed Chinese Postman Problem (MCPP) -hart ist, auch wenn alle Kanten und Bögen des Eingabegraphen das Gewicht und in Bezug auf die Baumtiefe FPT sind. Dies ist das erste Problem, von dem bekannt ist, dass es in Bezug auf die Baumbreite -hart ist, in Bezug auf die Baumtiefe jedoch FPT. Beachten Sie, dass die Pfadbreite eines Diagramms zwischen seiner Baumbreite und seiner Baumtiefe liegt. $W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

Das Steiner Multicut Problem, das fragt, ein ungerichteter Graph gegeben , eine Sammlung , von Endmengen mit einer Größe von höchstens und einer ganzen Zahl , ob es eine Menge von höchstens Kanten oder Knoten gibt, so dass von jeder Menge mindestens einer Paar von Anschlüssen ist in verschiedenen angeschlossenen Komponenten von . $G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

$W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— Rupei Xu
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