Warum unterscheidet sich der HAMILTONISCHE ZYKLUS von PERMANENT?

Ein Polynom $f(x_1,\ldots,x_n)$ ist eine monotone Projektion eines Polynoms $g(y_1,\ldots,y_m)$ wenn $m$ = poly $(n)$ , und es gibt eine Zuordnung $\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\}$ so dass . Das heißt, es ist möglichjede Variable zu ersetzen , y j von g durch eine Variable x i oder eine Konstante 0 oder 1 , so dass die resultierende Polynom fällt mit f . $f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))$$y_j$$g$$x_i$$0$$1$$f$

Ich interessiere mich (für die Gründe) für den Unterschied zwischen dem permanenten Polynom PER und dem Hamilton-Zyklus-Polynom HAM: , wo die erste Summation über ist alle Permutationen h :

$$\mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}$$ und die Sekunde gilt nur für allezyklischenPermutationen h : [ n ] → [ n ] . $h:[n]\to[n]$$h:[n]\to[n]$

Frage: Warum ist HAM keine monotone Projektion PER? Oder ist es immer noch so?

Ich bitte nicht um Beweise , nur aus intuitiven Gründen.

Motivation: Die größte bekannte monotone Untergrenze für PER (von Razborov bewiesen) bleibt "nur" . Auf der anderen Seite, die Ergebnisse des Valiant implizieren , dass CLIQUE n  sind eine monotone Projektion von HAM m wo CLIQUE n ( x ) = Σ S Π i < j ∈ S x i , j mit der Summation über alle Teilmengen S ⊆ [ n ] der Größe | S $n^{\Omega(\log n)}$

$$\mbox{CLIQUE$_n$ is a monotone projection of HAM$_{m}$}$$ $$\mbox{CLIQUE}_n(x)=\sum_{S}\prod_{i < j\in S}x_{i,j}$$ $S\subseteq [n]$ . Ich selbst konnte aus diesen allgemeinen Ergebnissen keine "einfache, direkte" Reduktion erhalten, aberAlon und Boppanabehaupten (in Abschn. 5), dass bereitsm=25n2für diese Reduktion ausreicht. $|S|=\sqrt{n}$$m=25n^2$

Aber warten: Es ist bekannt , dass CLIQUE monotone Schaltungen der Größe erfordert (erster bewiesen durch Alon und Boppana Razborov Methode verwendet wird ). $2^{n^{\Omega(1)}}$

So waren HAM eine monotone Projektion von PER, hätten wir auch für PRO untere Grenze. $2^{n^{\Omega(1)}}$

Warum ist HAM eigentlich nicht einmal eine nicht monotone Projektion von PER? Über das Boolesche Semiren ist das erstere NP- vollständig, während das letztere in P ist . Aber wieso? Wo ist ein Ort, an dem es etwas Besonderes ist, zyklisch für eine Permutation zu sein?

PS Ein offensichtlicher Unterschied könnte sein: HAM deckt [n] mit nur einem (langen) Zyklus ab, während PER möglicherweise disjunkte Zyklen dafür verwenden kann. Um PER auf HAM zu projizieren, scheint die harte Richtung zu lauten: Stellen Sie sicher, dass das Fehlen eines Hamilton-Zyklus das Fehlen jeglicher Bedeckung mit disjunkten Zyklen in der neuen Grafik impliziert. Ist dies der Grund dafür, dass HAM keine Projektion von PER ist?

PPS Eigentlich Valiant bewies ein Einprägen Ergebnis: jedes Polynom mit c u ∈ { 0 , 1 } , deren Koeffizienten c u p-Zeit berechenbar sind , , ist eine Projektion (nicht unbedingt monoton, wenn das Algo nicht monoton ist) von HAM m für m = poly ( n $f(x)=\sum_{u\subseteq [n]}c_u\prod_{i\in u}x_i$$c_u\in\{0,1\}$$c_u$$_m$$m$$(n)$. PER hat ebenfalls diese Eigenschaft, jedoch nur über Felder des Merkmals . In diesem Sinne sind HAM und PER in der Tat "ähnlich", es sei denn, wir befinden uns nicht in GF (2), wo sich PER, wie Bruno erinnerte, DETERMINANT zuwendet und einfach ist.$\neq 2$

Das Folgende ist ein Beweis für jeden Ring mit dem Merkmal Null, dass das Hamilton-Zyklus-Polynom keine monotone Projektion der bleibenden Karte in Polynomgröße ist. Die Grundidee ist, dass monotone Projektionen von Polynomen mit nichtnegativen Koeffizienten dazu führen, dass das Newton-Polytop des einen eine erweiterte Formulierung des Newton-Polytops des anderen ist und dann die jüngsten unteren Schranken auf erweiterte Formulierungen angewendet werden.

Sei und g ( y 1 , … , y m ) Polynome mit nichtnegativen Koeffizienten (wie hier der Fall). Angenommen, f ist eine monotone Projektion von g unter der Zuweisung π (nach der Notation der Frage). Unter π wird jedes Monom von g entweder auf 0 (wenn eine seiner Variablen auf 0 abgebildet wird) oder auf ein Monom von f abgebildet$f(x_1,\dotsc,x_n)$$g(y_1,\dotsc,y_m)$$f$$g$$\pi$$\pi$$g$$f$ : Es kann wegen Nicht-Negativität keine Stornierungen geben.

Lassen bezeichnen den Newton Polytop von f , und in ähnlicher Weise für N e w ( g ) .$New(f)$$f$$New(g)$

Behauptung : Es gibt eine erweiterte Formulierung für in R m unter Verwendung von ≤ n + m Variablen und einer Anzahl von Einschränkungen, die höchstens n + m plus der Anzahl von Einschränkungen ist, die N e w ( g ) definieren .$New(f)$$\mathbb{R}^m$$\leq n+m$$n+m$$New(g)$

So geht's: Sei die Koordinaten auf R m (in denen N e w ( g ) lebt; ein ganzzahliger Punkt in R m mit Koordinaten ( e 1 , … , e m ) entspricht nämlich das Monom y e 1 1 ⋯ y e m m ). Für die i so, dass π ( y i ) $e_1,\dotsc,e_m$$\mathbb{R}^m$$New(g)$$\mathbb{R}^m$$(e_1,\dotsc,e_m)$$y_1^{e_1} \dotsb y_m^{e_m}$$i$ überschneiden$\pi(y_i)=0$ mit { e i = 0 } (da nur Monome, an denen y i nicht beteiligtist, zur Projektion beitragen können); dies fügt höchstens m zusätzliche Beschränkungen hinzu. Sei P das resultierende Polytop. Danninduziert π eine lineare Abbildung L π : R m → R n , so dass L π ( P ) = N e w ( f $New(g)$$\{e_i = 0\}$$y_i$$m$$P$$\pi$$L_{\pi}\colon \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$$L_{\pi}(P) = New(f)$$New(f)$$n+m$$P$$m$$L_{\pi}$$n$$x_i$

Now take $f$ to be the $n$-th Hamilton cycle polynomial and $g$ to be the $m$-th permanent, and suppose that $f$ is a monotone projection of $g$. The Newton polytope of the permanent (and determinant, incidentally), is the cycle cover polytope. This polytope is easily described by the "edge" variables $e_{ij}$ and the $m$ equations stating that every vertex has degree exactly 2.

The Newton polytope of the Ham. Cycle polynomial is the Hamiltonian cycle polytope (surprise, surprise). But this polytope is the TSP polytope, which requires $2^{n^{\Omega(1)}}$ equations to describe any extended formulation of, which, when $m$ is subexponential, contradicts the small extended formulation given by the cycle cover polytope and $L_{\pi}$ as above.

(Note that this argument fails if $f$, $g$, or $\pi$ can have negative coefficients, as then there can be cancellations, so $L_{\pi}$ need not map onto $New(f)$.)

It's interesting to note that the geometry of these polytopes is closely related to the fact that matching is in $\mathsf{P}$ while Hamilton cycle is $\mathsf{NP}$-complete, but I think the above reasoning shows how the geometric structure here really can add something beyond that complexity classification.