Rechenschaltungen mit nur einem Schwellwertgatter

Wenn auf eingeschränkte $0$ - $1$ Eingänge, jeden $\{+,\times\}$ -Schaltung $F(x_1,\ldots,x_n)$ berechnet , eine Funktion $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ . Um eine Boolesche Funktion zu erhalten, können wir nur ein Fanin-1-Schwellwertgatter als Ausgangsgatter hinzufügen. Bei Eingabe von $a\in\{0,1\}^n$ wird der resultierende Schwellenwert $\{+,\times\}$ -Schaltunggibt dann $1$ wenn $F(a)\geq t$ , und gibt $0$ wenn $F(a)\leq t-1$ ; Die Schwelle $t=t_n$ kann eine beliebige positive ganze Zahl sein, die von $n$ aber nicht von Eingabewertenabhängen kann. Die resultierende Schaltung berechnet eine (monotone)BoolescheFunktion $F':\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ .

Frage: Können -Schaltkreise mit -Schaltkreisen effizient simuliert werden ? $\{+,\times\}$ $\{\lor,\land\}$

Unter "effizient" meine ich "mit höchstens einer polynomiellen Vergrößerung". Die Antwort ist klar "Ja" für die Schwelle : Ersetzen Sie einfach durch , durch und entfernen Sie das letzte Schwellentor. Das heißt, -Schaltungen sind tatsächlich Schwellwert- -Schaltungen. Aber was ist mit größeren Schwellen, sagen wir ? $t=1$ $+$ $\lor$ $\times$ $\land$ $\{\lor,\land\}$ $1$ $\{+,\times\}$ $t=2$

Man kann arithmetische Analoga der meisten booleschen Schaltungsklassen indem man einfach anstelle von OR, anstelle von AND und anstelle von . Zum Beispiel Schaltungen sind -Schaltkreise konstanter Tiefe mit unbeschränkter Fanin und Gattern und Eingänge und . $\#C$ $C$ $+$ $\times$ $1-x_i$ $\bar{x}_i$ $\#AC^0$ $\{+,\times\}$ $+$ $\times$ $x_i$ $1-x_i$ Agrawal, Allender und Datta haben gezeigt, dass der Schwellenwert = . (Erinnern Sie sich, dass selbst eine geeignete Teilmenge von ; nehmen Sie zum Beispiel die Majority-Funktion.) Mit anderen Worten, Schwellwertschaltungen mit konstanter Tiefe können durch - mit konstanter Tiefe effizient simuliert werden. Schaltungen mit nur einem einzigen Schwellwert-Gate! Beachten Sie jedoch, dass es sich bei meiner Frage um monotone Schaltkreise handelt (kein Minus " " als Gatter und sogar kein $\#AC^0$ $TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $\{+,-,\times\}$ $-$ als Eingänge). Kann ein (letztes) Schwellentor auch dann so mächtig sein? Ich kenne dieses Zeug nicht, daher sind alle diesbezüglichen Hinweise willkommen. $1-x_i$

NB: Es gibt noch ein weiteres interessantes Ergebnis , das Arnold Rosenbloom zu verdanken hat : Schaltkreise mit nur einer monotonen Funktion als Ausgangsgatter können jede Schichtfunktion mit -Gattern berechnen . Eine Slice-Funktion ist eine monotone Boolesche Funktion, die für ein festes (bzw. ) an allen Eingängen mit weniger (bzw. mehr) als ausgibt $\{+,\times\}$ $g:\mathbb{N}^2\to\{0,1\}$ $O(n)$ $k$ $0$ $1$ $k$ Einsen. Auf der anderen Seite, einfache Zählen zeigt , dass die meisten slice Funktionen allgemeinen erfordern -Schaltungen exponentieller Größe. So ein „unschuldige“ zusätzliche Ausgangsgatter können monotone Schaltungen allmächtig machen! Meine Frage ist, ob dies auch passieren kann, wenn ein Fan-in- Schwellwert-Gate ist. $\{\lor,\land,\neg\}$ $g:\mathbb{N}\to\{0,1\}$ $1$

AKTIVIERUNG (hinzugefügt am 03.11.2014): Emil Jeřábek hat gezeigt (über eine erstaunlich einfache Konstruktion, siehe seine Antwort unten), dass die Antwort "ja" ist, solange

für eine Konstante

. Die Frage bleibt also nur für Superpolynomschwellen (in

) offen .

t \leq n^{c}

$t\leq n^c$

c

$c$

n

$n$

Üblicherweise wird bei Anwendungen, nur große Schwellen funktionieren: wir müssen in der Regel Schwellen von der Form für . Sprich, wenn zählt die Anzahl der - Pfade im Graph angegeben durch die - eingegeben wird , dann mit , der Schwellen- Version von löst $2^{n^{\epsilon}}$ $\epsilon > 0$ $F:\{0,1\}^n\to \mathbb{N}$ $s$ $t$ $0$ $1$ $t=m^{m^2}$ $m\approx n^{1/3}$ $t$ $F$ die Existenz eines Hamiltonschen - - Pfadproblems auf Vertex - Graphen (siehe z . B. hier ). $s$ $t$ $m$

(Hinzugefügt am 14.11.2014): Da Emil einen großen Teil meiner Frage beantwortet hat und der Fall von exponentiellen Schwellen nicht in Sicht ist, akzeptiere ich jetzt die (sehr nette) Antwort von Emil.

circuit-complexity arithmetic-circuits cc-complexity-theory

— Stasys
quelle

Warten Sie ... Exponentialgröße? Ich denke, Sie können eine Slice-Funktion in Polynomgröße mit Booleschen Gates implementieren. Es ist nur eine Formel (die Zwischenergebnisse nicht mehr als einmal wiederverwenden kann), die eine exponentielle Größe haben muss.

— Zsbán Ambrus

@ Zsbán Ambrus: Es gibt höchstens

Kreise der Größe

, aber mindestens

verschiedene

Slice-Funktionen bereits für

; a, b positive Konstanten.

S^{a S}

$S^{aS}$

S

$S$

2^{2^{b n}}

$2^{2^{bn}}$

k

$k$

k = n / 2

$k=n/2$

— Stasys

Schwellenwert 2 und allgemeiner Schwellenwerte, die durch

, können effizient simuliert werden, indem die Berechnung im Semiring durchgeführt wird

2^{n^{c}}

$2^{n^c}$

({0, \dots, t}, min {x + y, t}, min {x y, t})

$(\{0,\dots,t\},\min\{x+y,t\},\min\{xy,t\})$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

Sie erhalten

Stromkreise direkt. Ersetzen Sie jeden Knoten

durch

Knoten

, wobei

das boolesche Prädikat

berechnet . (Sie brauchen

da es die Konstante

berechnet , aber es vereinfacht den folgenden Ausdruck.) In dieser Darstellung können

und

durch

-Schaltungen der Größe

\land, \lor

$\land,\lor$

c

$c$

t + 1

$t+1$

c_{0}, \dots, c_{t}

$c_0,\dots,c_t$

c_{i}

$c_i$

c \geq i

$c\ge i$

c_{0}

$c_0$

1

$1$

+

$+$

\cdot

$\cdot$

{\land, \lor}

$\{\land,\lor\}$

: zB wenn

, dann ist

O (t^{2})

$O(t^2)$

c = a + b

$c=a+b$

c_{i} = \underset{j + k \geq i}{⋁} (a_{j} \land b_{k})

$c_i=\bigvee_{j+k\ge i}(a_j\land b_k)$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

@Emil Jeřábek: Sehr schön! Ich habe jetzt eine Bemerkung dazu hinzugefügt. Eigentlich mag es sich vielleicht lohnen, diesen Kommentar als Antwort zu geben: Auch der polynomiale Schwellenfall war (zumindest für mich) nicht sofort klar.

— Stasys

Die Antwort lautet "Ja", wenn . Allgemeiner kann ein Schwellwert -Schaltkreis der Größe mit dem Schwellwert durch einen -Schaltkreis der Größe simuliert werden . $t=n^{O(1)}$ $\{+,\cdot\}$ $s$ $t$ $\{\lor,\land\}$ $O(t^2s)$

Beachten Sie zunächst, dass es ausreicht, die Schaltung in mit abgeschnittener Addition und Multiplikation zu bewerten : insbesondere wenn , dann und entweder oder . $\{0,\dots,t\}$ $a,a'\ge t$ $a+b,a'+b\ge t$ $ab,a'b\ge t$ $ab=a'b(=0)$

Vor diesem Hintergrund können wir die Schaltung mit einer booleschen monotonen Schaltung simulieren, indem wir jeden Knoten durch Knoten ersetzen , wobei das Prädikat berechnen soll . ( nur zur Vereinfachung der Notation benötigt und berechnet die Funktion der Konstanten ) Wenn eine boolesche Eingabevariable , nehmen wir , $c$ $c_0,\dots,c_t$ $c_i$ $c\ge i$ $c_0$ $1$ $c$ $x$ $c_1=x$ $c_2=\dots=c_t=0$ . Wenn ein Additionsgatter ist, sagen wir , implementieren wir es über Multiplikationstore werden auf die gleiche Weise behandelt. $c$ $c=a+b$

c_{i} = \underset{\begin{matrix} j, k \leq t \\ j + k \geq i \end{matrix}}{⋁} (a_{j} \land b_{k}) .

$c_i=\bigvee_{\substack{j,k\le t\\j+k\ge i}}(a_j\land b_k).$

Dies benötigt Gates pro Gate der ursprünglichen Schaltung. Als kleine Optimierung können wir es auf reduzieren, indem wir $O(t^3)$ $O(t^2)$ so dass jedesals Eingang von nur einem der-Tore verwendet wird.

\begin{aligned} c_{t} & = \underset{j + k \geq t}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), \\ c_{i} & = c_{i + 1} \lor \underset{j + k = i}{⋁} (a_{j} \land b_{k}), i < t, \end{aligned}

$\begin{align*} c_t&=\bigvee_{j+k\ge t}(a_j\land b_k),\\ c_i&=c_{i+1}\lor\bigvee_{j+k=i}(a_j\land b_k),\qquad i<t, \end{align*}$

a_{j} \land b_{k}

$a_j\land b_k$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica
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