Ist

Was passiert, wenn wir so definieren, dass anstelle einer Polytime-Turing-Maschine / Polysize-Schaltung eine Logspace-Turing-Maschine oder eine -Schaltung das Problem codiert?${\bf PPAD}$${\bf AC^0}$

Kürzlich stellte sich heraus , dass es wichtig war, schnellere Algorithmen für die Schaltungserfüllbarkeit für kleine Schaltungen . frage ich mich, was mit den korrigierten Versionen von .${\bf PPAD}$

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ Ja, . (Hier und unten gehe ich davon aus, dass als eine einheitliche Klasse definiert ist. Natürlich würden wir bei einer uneinheitlichen \ ac nur \ mathrm {PPAD / poly} erhalten .)A C 0 P A D = P P A D A C 0 A C 0 P P A D / P o l $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$$\ac$$\ac$$\mathrm{PPAD/poly}$

Die Grundidee ist ganz einfach: $\ac$ kann einen Schritt einer Turing-Maschinenberechnung ausführen, daher können wir eine polynomzeitberechnbare Kante durch eine polynomlange Linie von $\ac$ -berechnbaren Kanten simulieren. Durch eine weitere Erweiterung der Idee könnte man mit einem PPAD-Orakel in Polyzeit berechenbare Kanten simulieren, dh PPAD wird unter Turing-Reduzierbarkeit geschlossen; Dieses Argument findet sich in Buss und Johnson .

Es gibt in der Literatur viele äquivalente Definitionen von PPAD, die sich in verschiedenen Details unterscheiden. Ein NP-Suchproblem liegt in PPAD vor, wenn es ein Polynom und Polynomzeitfunktionen , und mit den folgenden Eigenschaften gibt. Für jeden Eingang der Länge , und stellen einen gerichteten Graphen ohne Selbstschleifen wo , und jeder Knoten hat Ein- grad und out-grad höchstens . Die Darstellung ist so, dass wennS p ( n ) f ( x , u ) g ( x , u ) h ( x , u ) x n f g G x = ( V x , E x ) V x = { 0 , 1 } p ( n ) 1 ( u , v ) ∈ E x f ( $S$$p(n)$$f(x,u)$$g(x,u)$$h(x,u)$$x$$n$$f$$g$$G_x=(V_x,E_x)$$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$$1$$(u,v)\in E_x$, dann ist und ; wenn Grad , ist ; und wenn Grad , ist ., u ) = v g ( x , v ) = u u 0 f ( x , u ) = u u 0 g ( x , u ) = $f(x,u)=v$$g(x,v)=u$$u$$0$$f(x,u)=u$$u$$0$$g(x,u)=u$

Der Knoten ist eine Quelle (dh er hat einen In-Grad und einen Out-Grad ). Wenn eine Quelle oder Senke (in Grad , out Grad ) als , dann ist eine Lösung für .0 p ( n ) ≤ V x 0 1 u ≤ V x 1 0 0 p ( n ) h ( x , u ) S ( x $0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

Wir können ähnliche Weise definieren, außer dass in .$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

Ich werde in der Konstruktion der Einfachheit halber ignorieren . (Es ist nicht schwer zu zeigen, dass man es für eine Projektion halten kann, daher$h$ A C 0 -berechenbar.)$\ac$

Man betrachte also ein PPAD-Problem S, das durch f und g definiert ist , und behebe Turing-Maschinen, die f und g in der Zeit q ( n ) berechnen . Für jedes x definieren wir einen gerichteten Graphen G ' x = ( V ' x , E ' x ), dessen Eckpunkte Folgen der folgenden Form sind:$S$$f$$g$$f$$g$$q(n)$$x$$G'_x=(V'_x,E'_x)$

• ( 0 , u , c 1 , ... , c k ) , wobei u ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) und c 1 , ... , c k sind die ersten k - Konfigurationen in der Berechnung von f ( x , u ) .$(0,u,c_1,\dots,c_k)$$u\in V_x$$0\le k\le q(n)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

• ( 0 , u , c 1 , ... , C q ( n ) , v , d 1 , ... , d k ) , wobei u , v ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , f ( x , u ) = v , c 1 , ... , c q $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$$u,v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$f(x,u)=v$n ) ist die vollständige Berechnung vonf(x,u)und d 1 ,..., d k sind die erstenkSchritte bei der Berechnung vong(x,v).$c_1,\dots,c_{q(n)}$$f(x,u)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• ( 1 , v , d 1 , ... , d k ) , wobei 0 p ( n ) ≠ v ∈ V x , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , und d 1 , ... , d k sind die ersten k Konfigurationen in dem Berechnung von g ( x , v ) .$(1,v,d_1,\dots,d_k)$$0^{p(n)}\ne v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• ( 1 , v , d 1 , ... , d q ( n ) , u , c 1 , ... , c k ) , wobei u , v ∈ V x , v ≠ 0 p ( n ) , 0 ≤ k ≤ q ( n ) , g ( x , v ) = u ,$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$$u,v\in V_x$$v\ne0^{p(n)}$$0\le k\le q(n)$$g(x,v)=u$d 1 , … , d q ( n ) ist die Berechnung von g ( x , v ) , und c 1 , … , c k sind die ersten k Schritte bei der Berechnung von f ( x , u ) .$d_1,\dots,d_{q(n)}$$g(x,v)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

E ' x besteht aus den Kanten in V ' x × V ' x der folgenden Arten:$E'_x$$V'_x\times V'_x$

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• ( 0 , u , c 1 , ... , c q ( n ) , v , d 1 , ... , d q ( n ) ) → ( 1 , v , d 1 , ... , d q ( n ) , u , c 1 , … , C q ( n ) ) wenn$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$( u ) = v und g ( v ) = u (dh entweder ( u , v ) ∈ E x oder u = v ist ein isolierter Scheitelpunkt)$f(u)=v$$g(v)=u$$(u,v)\in E_x$$u=v$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

Formally, let $r(n)$ be a polynomial bounding the lengths of binary representations of all the sequences above (such that we can extend or shorten sequences, and extract their elements with $\ac$-functions); we actually put $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$, and we let all vertices except the above-mentioned sequences to be isolated.

It is easy to see that the functions $f'$, $g'$ representing $G'_x$ are $\ac$-computable: in particular, we can test in $\ac$ whether $c_1,\dots,c_k$ is a valid partial computation of $f(x,u)$, we can compute $c_{k+1}$ from $c_k$, and we can extract the value of $f(x,u)$ from $c_{q(n)}$.

The sinks in $G'_x$ are nodes of the form $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ where $u$ is a sink in $G_x$. Likewise, sources are $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ where $v$ is a source in $G_x$, except that in the special case $v=0^{p(n)}$, we have pruned the line early and the corresponding source in $G'_x$ is just $(0,0^{p(n)})$. We can assume the encoding of sequences is done in such a way that $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$.

Thus, $f'$ and $g'$ define an $\ac\mathrm{PAD}$ problem $S'$, and we can extract a solution to $S(x)$ from a solution to $S'(x)$ by an $\ac$-function $h'$ which outputs the second component of a sequence.