Angenommen, wir haben ein Problem, das durch einen reellen Parameter p parametrisiert ist, der "leicht" zu lösen ist, wenn und "schwer", wenn für einige Werte , .
Ein Beispiel ist das Zählen von Spin-Konfigurationen in Diagrammen. Die gewichteten richtigen Farbtöne, unabhängigen Mengen und Euler'schen Untergraphen entsprechen den Partitionsfunktionen der Modelle Hardcore, Potts und Ising, die für "hohe Temperatur" und für "niedrige Temperatur" leicht zu approximieren sind. Für einfache MCMC entspricht der Härtephasenübergang einem Punkt, an dem die Mischzeit vom Polynom zum Exponential springt ( Martineli, 2006 ).
Ein weiteres Beispiel ist die Inferenz in probabilistischen Modellen. Wir "vereinfachen" ein gegebenes Modell, indem wir eine , Kombination davon mit einem "alle Variablen sind unabhängig" -Modell nehmen. Für das Problem trivial, für es unlösbar und die Härteschwelle liegt irgendwo dazwischen. Bei der populärsten Inferenzmethode wird das Problem schwierig, wenn die Methode nicht konvergiert, und der Punkt, an dem es auftritt, entspricht dem Phasenübergang (im physikalischen Sinne) einer bestimmten Gibbs-Verteilung ( Tatikonda, 2002 ).
Was sind andere interessante Beispiele für die Härte "Sprung", da einige kontinuierliche Parameter variiert wird?
Motivation: Beispiele für eine andere "Dimension" der Härte als den Graphentyp oder den Logiktyp zu sehen