Anweisungen, die implizieren

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Dies ist eine Art offene Frage, für die ich mich im Voraus entschuldige.

Gibt es Beispiele für Aussagen, die (scheinbar) nichts mit Komplexität oder Turing-Maschinen zu tun haben, deren Antwort aber implizieren würde ? $\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes p-vs-np

— Dominic van der Zypen
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Wäre "Es gibt kein Beweissystem für Aussagenlogik, in dem jede Tautologie einen Beweis für die polynomiale Länge (in der Länge von ) hat." zählen, oder kommt das der Komplexität aufgrund der Polynomgrenze zu nahe?

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

— Jan Johannsen

Da es keine "genauen" Antworten auf meine Frage gibt, würde Ihre Vermutung zählen ... Ich suche nur nach überraschenden und unterschiedlichen Blickwinkeln für das P vs NP-Problem

— Dominic van der Zypen

4

Ich denke, die beschreibende Komplexität gibt einige Beispiele. Zum Beispiel ist die Aussage "es gibt Eigenschaften (von geordneten Strukturen), die durch existenzielle Formeln zweiter Ordnung ausgedrückt werden können, die nicht durch universelle Formeln zweiter Ordnung ausgedrückt werden können" äquivalent zu der Antwort von @ JanJohannsen, während "es Eigenschaften (von geordneten Strukturen) gibt, die durch ausgedrückt werden können Existenzformeln zweiter Ordnung, die nicht durch Formeln erster Ordnung mit einem Operator für den kleinsten Fixpunkt ausgedrückt werden können, sind genau . Zählen diese?

P \neq N P

$\mathsf P\neq\mathsf{NP}$

— Damiano Mazza

" und " * rimshot *

N \neq 1

$\mathbf{N}\neq 1$

P \neq 0

$\mathbf{P}\neq 0$

— David Richerby

1

Ähnliche Frage cstheory.stackexchange.com/questions/9806/…

— Tayfun Pay

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Ein Beweissystem für die Aussagenlogik heißt polynomisch begrenzt , wenn jede Tautologie einen Beweis im System des Längenpolynoms in der Länge von . $\varphi$ $\varphi$

Die Aussage "Es gibt kein polynomial beschränktes " entspricht nach einem klassischen Ergebnis von Cook und Reckhow , impliziert also . $\mathsf{NP} \neq \mathsf{co}\text-\mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Jan Johannsen
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2

Ich würde denken, dass (durch die Definition eines Satzbeweissystems für die

vollständige Sprache der Tautologien) die Annahme ("Es gibt kein Beweissystem für die Satzlogik, in der jede Tautologie

einen Beweis des Polynoms hat (in die Länge

) Länge ") ist fast identisch mit der Annahme

; und damit fast identisch mit der Annahme

.

c o N P

$\mathsf{coNP}$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

N P \neq P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{P}$

— Iddo Tzameret

@IddoTzameret: aber wir müssen wissen, dass TAUTOLOGY

-complete ist, nicht wahr? Und das ist nicht trivial. Ich denke, dieses Beispiel bekräftigt nur das Interesse, "natürliche" vollständige Probleme zu haben: Wir können über Komplexitätsklassen sprechen, ohne explizit über die Maschinen zu sprechen, mit denen sie definiert wurden (was vom OP anscheinend verlangt wird). Oder vielleicht habe ich Ihren Kommentar falsch verstanden ...

c o N P

$\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza

@ Damiano, ich denke, die Tatsache, dass TAUT coNP-vollständig ist, ist trivial, in dem Sinne, dass es durch seine Definition und die NP-Vollständigkeit von SAT impliziert wird.

— Iddo Tzameret

@IddoTzameret, Ok, aber Sie stimmen zu, dass die

-completeness von SAT ist nicht trivial, nicht wahr? Das habe ich eigentlich gesagt. Ich meine, zwischen der in Bezug auf Turing-Maschinen formulierten Aussage "

" und ihrer Laufzeit und dem Argument "es gibt kein polynomiell beschränktes Satzbeweissystem" sehe ich eine nicht-triviale Lücke, die sie definitiv nicht " t aussehen "fast identisch". Diese Lücke besteht in der Vollständigkeit von TAUT oder SAT, je nachdem, was Sie möchten, aber es ist da. Stimmst du nicht zu

N P

$\mathsf{NP}$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza

1

Ja, die Eigenschaft "

ist ein Beweis von

" muss in polynomieller (in

und

) Zeit

sein. Und es muss fundiert und vollständig sein, dh eine Formel sollte einen Beweis haben, wenn es sich um eine Tautologie handelt.

p

$p$

φ

$\varphi$

| p |

$|p|$

| φ |

$|\varphi|$

— Jan Johannsen

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Die geometrische Komplexitätstheorie (GCT) (auch [1]) wurde noch nicht erwähnt. Es ist ein großes ehrgeiziges Programm, um P vs NP mit algebraischer Geometrie zu verbinden. zB eine kurze Zusammenfassung der Umfrage zum Verständnis des Mulmuley-Sohoni-Ansatzes für P vs. NP , Regan:

Stabilität ist informell ein Begriff, nicht „chaotisch“ zu sein, und hat sich unter dem leitenden Einfluss von DA Mumford unter anderem zu einem Hauptzweig der algebraischen Geometrie entwickelt. Ketan Mulmuley und Milind Sohoni [MS02] stellen fest, dass viele Fragen zu Komplexitätsklassen als Fragen zur Art von Gruppenaktionen auf bestimmte Vektoren in bestimmten Räumen umgewandelt werden können, die Probleme in diesen Klassen codieren. In dieser Umfrage werden die Rahmenbedingungen aus der Sicht von Laien erläutert und versucht zu bewerten, ob dieser Ansatz den Angriffen auf die Frage von P. vs. NP wirklich neue Kraft verleiht.

auch eine kurze Zusammenfassung im Abschnitt "Eine neue Hoffnung?" im Status des P vs NP-Problems , Fortnow (2009)

Mulmuley und Sohoni haben eine Frage zur Nichtexistenz von Polynomzeitalgorithmen für alle NP-vollständigen Probleme auf die Frage nach der Existenz eines Polynomzeitalgorithmus (mit bestimmten Eigenschaften) für ein bestimmtes Problem reduziert. Dies sollte uns auch angesichts der Probleme (1) - (3) Hoffnung geben.

Trotzdem glaubt Mulmuley, dass es ungefähr 100 Jahre dauern wird, dieses Programm durchzuführen, wenn es überhaupt funktioniert.

[1] Erklärung der geometrischen Komplexitätstheorie im Wikipedia-Stil (tcs.se)

— vzn
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Danke, dass Sie GCT mitgebracht haben! Es scheint mein eigenes Problem zu berühren [M], aber ich war vorher nicht darauf gestoßen. "Diese Rechenprobleme können durch ihre Symmetrien charakterisiert werden. Das Programm zielt darauf ab, diese Symmetrien zum Nachweis von Untergrenzen zu verwenden."

— DukeZhou

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Das folgende Ergebnis von Raz (Elusive Functions und Lower Bounds for Arithmetic Circuits, STOC'08) zielt auf (und nicht direkt auf ) ab, könnte aber für das OP nahe genug sein: $VP\neq VNP$ $P\neq NP$

Ein Polynom-mapping ist , -elusive, wenn für jedes Polynom-mapping der Grad , Bild ( ) Bild ( ). $f:\mathbb F^n \to \mathbb F^m$ $(s, r)$ $Γ : \mathbb F^s → \mathbb F^m$ $r$ $f$ $\not⊂$ $Γ$

Für viele Einstellungen der Parameter , explizite Konstruktionen schwer fassbar Polynom-mappings implizieren stark (bis exponentiell) untere Schranken für die allgemeinen Rechenschaltungen. $n, m, s, r$

— Iddo Tzameret
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Was ist eine Polynomzuordnung? Meinen Sie "Polynom"? Meinen Sie "Polynom-Zeit berechenbare Funktion"? Etwas anderes?

— DW

2

Es ist einfach eine Folge von

Polynomen mit jeweils den gleichen

Variablen; daher definiert es eine Abbildung von

bis

.

m

$m$

n

$n$

F^{n}

$\mathbb{F}^n$

F^{m}

$\mathbb{F}^m$

— Iddo Tzameret

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Es gibt ein neueres Gebiet der Komplexität, das als Graphkomplexität bezeichnet wird und untersucht , wie größere Graphen aus kleineren Graphen unter Verwendung von UND- und ODER-Verknüpfungen von Kanten aufgebaut werden. Jukna hat eine schöne Umfrage . Insbesondere unter Verwendung von Einheiten von "Sterngraphen" gibt es einen Schlüsselsatz, siehe Bemerkung 1.18 (der Satz ist technisch stärker als unten und impliziert tatsächlich ): $P \ne NP/poly$

Wir wussten bereits (Satz 1.7), dass bipartite Graphen G der Sternkomplexität existieren; In der Tat sind dies fast alle Graphen. Andererseits impliziert das starke Vergrößerungs-Lemma, dass sogar eine Untergrenze von für eine willkürlich kleine Konstante für die Sternkomplexität eines expliziten $n × m$ $Star(G) = (nm/ \log n)$ $Star(G) ≥ (2+c)n$ $c > 0$ Graph mit hätte große Konsequenzen für die Schaltungskomplexität: Ein solcher Graph würde eine explizite Boolesche Funktion eine Schaltung mit Exponentialgröße (in der Zahl Variablen)erfordert! (Denken Sie daran, dass für boolesche Funktionen noch keine superlinearen Untergrenzen bekannt sind.) Insbesondere, wenn der Graph ist, dass die Nachbarschaft von Eckpunkten in durch eine nicht deterministische Turing-Maschine bestimmt werden kann, die im Zeitpolynom in läuft die binäre Länge $n×m$ $G$ $m = o(n)$ $f_G$ $\log_2 nm$ $G$ $G$ der Codes von Eckpunkten, dann eine untere Schranke für eine beliebig kleine Konstante würde bedeutendass . Die Sternenkomplexität von Graphen erfasst somit eines der grundlegendsten Probleme der Informatik. $log_2 n$ $Star(G) ≥ (2 + c)n$ $c > 0$ $P \ne NP$

— vzn
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P / p o l y ⊅ N P

$P/poly \not \supset NP$

P \neq N P / p o l y

$P \neq NP/poly$

P \neq N P / p o l y

$P\neq NP/poly$

Ja. Sogar P / Poly enthält bekanntermaßen Probleme außerhalb von P, wie das unäre Halteproblem.

— Yonatan N

Danke für den Jukna-Link! "Komplexität ist eines der entscheidenden wissenschaftlichen Phänomene unserer Zeit. In diesem Kapitel betrachten wir die Komplexität von Graphen."

— DukeZhou

1

Wie wäre es mit Philip Maymin

" Märkte sind dann und nur dann effizient, wenn P = NP " heißt?

— RB
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3

Die Behauptungen und "Beweise" in diesem Papier sehen nicht streng aus, und die Argumente scheinen mir zu fehlen. Hast du diese Zeitung gelesen?

— Rahul Savani

Ich habe darüber nachgedacht und stimme zu, dass die Methodik nicht so überzeugend ist. Deshalb habe ich sie eher als "Claim" denn als Ergebnis bezeichnet.

— RB

5

Und es ist in Microsoft Word geschrieben: /

— Gigabyte

0

$P$ $NP$ $FP$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$ $P$ $NP$ $1$ $FP$ $FNP$ $FNP$ $FP$ $=$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$

— user3483902
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