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Die Theorie der geometrischen Komplexität schlägt vor, die rechnerische Komplexität von Rechenfunktionen (z. B. Polynomen) zu untersuchen, indem die inhärenten Symmetrien der Komplexität und alle zusätzlichen Symmetrien der untersuchten Funktionen ausgenutzt werden.
Wie bei vielen früheren Ansätzen besteht das Endziel darin, zwei Komplexitätsklassen zu trennen, indem gezeigt wird, dass es ein Polynom das Funktionen als Eingaben verwendet (z. B. , durch ihre Koeffizientenvektoren), so dass bei jeder Funktion verschwindet, aber bei einigen Funktionen nicht verschwindet . pfpf∈ C e a s y g h a r d ∈ C h a r dCeasy,Chardpfpf∈Ceasyghard∈Chard
Die erste Schlüsselidee (vgl. [GCT1, GCT2]) besteht darin, Symmetrien zu verwenden, um nicht die Funktionen selbst zu organisieren, sondern um die ( algebro-geometrischen ) Eigenschaften dieser Funktionen zu organisieren, wie sie durch Polynome wie das obige erfasst werden . Dies ermöglicht die Verwendung der Darstellungstheorie bei dem Versuch, ein solches zu finden . Ähnliche Vorstellungen in Bezug auf Darstellungstheorie und algebraische Geometrie wurden in der algebraischen Geometrie zuvor verwendet, aber meines Wissens nie ganz auf diese Weise.ppp
Die zweite Schlüsselidee (vgl. [GCT6]) besteht darin, kombinatorische (und polynomielle) Algorithmen für die resultierenden darstellungstheoretischen Probleme zu finden und diese Algorithmen dann rückzuentwickeln, um zu zeigen, dass ein solches existiert. Dies kann im Sinne der Verwendung der linearen Programmierung (eines Algorithmus) zum Nachweis bestimmter rein kombinatorischer Aussagen verstanden werden.p
In der Tat schlägt [GCT6] vor, die obigen darstellungstheoretischen Probleme auf Ganzzahl-Programmierprobleme zu reduzieren , dann zu zeigen, dass die resultierenden IPs durch ihre LP-Relaxationen gelöst werden, und schließlich kombinatorische Algorithmen für die resultierenden LPs zu liefern. Die Vermutungen in [GCT6] beruhen selbst auf der Rückentwicklung bekannter Ergebnisse für die Littlewood-Richardson-Koeffizienten, ein analoges, aber einfacheres Problem in der Darstellungstheorie. Bei den LR-Koeffizienten stand die kombinatorische Littlewood-Richardson-Regel an erster Stelle. Später gaben Berenstein und Zelevinsky [BZ] sowie Knutson und Tao [KT] (siehe [KT2] für eine freundliche Übersicht) eine IP für LR-Koeffizienten. Knutson und Tao haben auch die Sättigungsvermutung bewiesen, die impliziert, dass die IP durch ihre LP-Relaxation gelöst wird (vgl. [GCT3, BI]).
Die Ergebnisse von [GCT5] zeigen, dass die explizite Derandomisierung des Noether-Normalisierungs-Lemmas im Wesentlichen dem berüchtigten offenen Problem in der Komplexitätstheorie der Black-Box-Derandomisierung von polynomiellen Identitätstests entspricht . Ungefähr so, wie dies in das größere Programm passt, könnte das Finden einer expliziten Basis für die Funktionen , die in (in diesem Fall die Klasse, für die die Determinante vollständig ist) (verschwinden ), sein wird verwendet, um eine kombinatorische Regel für das gewünschte Problem in der Darstellungstheorie abzuleiten, wie dies in anderen Settings der algebraischen Geometrie der Fall war. Ein Zwischenschritt wäre hier, eine Basis für diejenigen zu finden, die bei der Normalisierung von (nicht) verschwindenC e a s y p C e a s ypCeasypCeasy , eine schönere algebraische Variante, mit anderen Worten, um das Noether-Normalisierungs-Lemma für DET zu derandomisieren.
Beispiele für Symmetrien von Komplexität und Funktionen
Zum Beispiel bleibt die Komplexität einer Funktion - für die meisten natürlichen Komplexitätsbegriffe - unverändert, wenn wir die Variablen permutieren durch eine Permutation . Permutationen sind also Symmetrien der Komplexität. Für einige Komplexitätsbegriffe (wie bei algebraischer Schaltungskomplexität) sind alle invertierbaren linearen Änderungen der Variablen Symmetrien.f ( x π ( 1 ) , ... , x π ( n ) ) πf(x1,…,xn)f(xπ(1),…,xπ(n))π
Einzelne Funktionen können zusätzliche Symmetrien aufweisen. Beispielsweise hat die Determinante die Symmetrien für alle Matrizen so dass . (Aus dem Wenigen, das ich darüber herausgefunden habe, habe ich herausgefunden, dass dies dem Phänomen des spontanen Symmetriebrechens in der Physik entspricht.)det(X)det(AXB)=det(XT)=det(X)A,Bdet(AB)=1
Einige aktuelle Fortschritte [dieser Abschnitt ist definitiv unvollständig und technischer, aber eine vollständige Darstellung würde Dutzende von Seiten in Anspruch nehmen ... Ich wollte nur einige aktuelle Fortschritte hervorheben]
Burgisser und Ikenmeyer [BI2] zeigten nach dem GCT-Programm eine Untergrenze für die Matrixmultiplikation, sofern Darstellungen mit einer Multiplizität von Null gegen eine Multiplizität ungleich Null verwendet wurden. Landsberg und Ottaviani [LO] gaben die bekannteste Untergrenze von im Wesentlichen für den Grenzrang der Matrixmultiplikation an, indem sie die Darstellungstheorie verwendeten, um algebraische Eigenschaften zu organisieren, aber weder Repräsentationsmultiplizitäten noch kombinatorische Regeln verwendeten.32n22n2
Das nächste Problem nach Littlewood-Richardson-Koeffizienten sind die Kronecker-Koeffizienten . Diese zeigen sich sowohl in einer Reihe von Problemen, von denen vermutet wird, dass sie letztendlich die repräsentationstheoretischen Probleme der GCT erreichen, als auch direkter als Schranken für die Multiplizitäten im GCT-Ansatz zur Matrixmultiplikation und als permanente versus Determinante. Das Auffinden einer kombinatorischen Regel für Kronecker-Koeffizienten ist ein seit langem offenes Problem in der Darstellungstheorie. Blasiak [B] gab kürzlich eine solche kombinatorische Regel für Kronecker-Koeffizienten mit einer Hakenform an.
Kumar [K] zeigte, dass bestimmte Repräsentationen im Koordinatenring der Determinante mit einer Multiplizität ungleich Null auftreten, wenn man die spaltenlateinische Quadrat-Vermutung annimmt (vgl. Huang-Rota und Alon-Tarsi; diese Vermutung taucht auch, vielleicht nicht zufällig, in [BI2 auf ]). Daher können diese Darstellungen nicht verwendet werden, um bleibende von determinanten auf der Grundlage von Multiplizitäten von Null zu Nicht-Null zu trennen, obwohl es immer noch möglich sein könnte, bleibende von determinanten durch eine allgemeinere Ungleichung zwischen Multiplizitäten zu trennen.
Literaturhinweise
[B] J. Blasiak. Kronecker-Koeffizienten für eine Hakenform. arXiv: 1209.2018, 2012.
[BI] P. Burgisser und C. Ikenmeyer. Ein Max-Flow-Algorithmus für die Positivität von Littlewood-Richardson-Koeffizienten. FPSAC 2009.
[BI2] P. Burgisser und C. Ikenmeyer. Explizite untere Schranken durch geometrische Komplexitätstheorie. arXiv: 1210.8368, 2012.
[BZ] AD Berenstein und AV Zelevinsky. Dreifache Multiplizitäten für und das Spektrum der Außenalgebra der adjungierten Darstellung. sl(r+1)J. Algebraic Combin. 1 (1992), no. 1, 7–22.
[GCT1] KD Mulmuley und M. Sohoni. Geometrische Komplexitätstheorie I: Ein Ansatz zum P vs. NP und verwandte Probleme. SIAM J. Comput. 31 (2), 496–526, 2001.
[GCT2] KD Mulmuley und M. Sohoni. Geometrische Komplexitätstheorie II: Auf dem Weg zu expliziten Hindernissen für Einbettungen zwischen Klassensorten. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175–1206, 2008.
[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan und M. Sohoni. Geometrische Komplexitätstheorie III: Über die Entscheidung, keinen Littlewood-Richardson-Koeffizienten zu erhalten. J. Algebraic Combin. 36 (2012), no. 1, 103–110.
[GCT5] KD Mulmuley. Geometrische Komplexitätstheorie V: Äquivalenz zwischen der Blackbox-Derandomisierung des Polynomidentitätstests und der Derandomisierung des Noether-Normalisierungs-Lemmas. FOCS 2012, auch arXiv: 1209,5993.
[GCT6] KD Mulmuley. Geometrische Komplexitätstheorie VI: Der Flip über Positivität. , Technischer Bericht, Institut für Informatik, Universität Chicago, Januar 2011.
[K] S. Kumar. Eine Untersuchung der Darstellungen, die durch die Umlaufbahnschließung der Determinante gestützt werden. arXiv: 1109.5996, 2011.
[LO] JM Landsberg und G. Ottaviani. Neue Untergrenzen für den Randrang der Matrixmultiplikation. arXiv: 1112.6007, 2011.
[KT] A. Knutson und T. Tao. Das Wabenmodell von Tensorprodukten. I. Beweis der Sättigungsvermutung. GLn(C)J. Amer. Mathematik. Soc. 12 (1999), no. 4, 1055–1090.
[KT2] A. Knutson und T. Tao. Bienenwaben und Summen hermitischer Matrizen. Hinweise Amer. Mathematik. Soc. 48 (2001), no. 2, 175–186.