Viele schwierige Graphenprobleme sind in der Polynomzeit auf Graphen mit begrenzter Baumbreite lösbar . In der Tat verwenden Lehrbücher in der Regel beispielsweise einen unabhängigen Satz als Beispiel, was ein lokales Problem darstellt . Grob gesagt ist ein lokales Problem ein Problem, dessen Lösung überprüft werden kann, indem eine kleine Nachbarschaft jedes Scheitelpunkts untersucht wird.
Interessanterweise können auch Probleme (wie der Hamilton-Pfad) globaler Natur für Diagramme mit begrenzter Baumbreite noch effizient gelöst werden. Für solche Probleme müssen übliche dynamische Programmieralgorithmen alle Wege verfolgen, auf denen die Lösung den entsprechenden Separator der Baumzerlegung durchlaufen kann (siehe z. B. [1]). Randomisierte Algorithmen (basierend auf sogenanntem Cut'n'Count) wurden in [1] angegeben, und verbesserte (sogar deterministische) Algorithmen wurden in [2] entwickelt.
Ich weiß nicht, ob es fair ist, so viele zu sagen, aber zumindest einige globale Probleme können für Diagramme mit begrenzter Baumbreite effizient gelöst werden. Was ist also mit Problemen, die bei solchen Diagrammen hart bleiben? Ich gehe davon aus, dass sie auch globaler Natur sind, aber was noch? Was trennt diese harten globalen Probleme von globalen Problemen , die können effizient gelöst werden? Wie und warum könnten uns bekannte Methoden beispielsweise keine effizienten Algorithmen für diese Methoden liefern?
Beispielsweise könnte man folgende Probleme in Betracht ziehen:
Erweiterung der Kantenvorfärbung Entscheiden Sie bei einem Diagramm mit einigen farbigen Kanten, ob diese Färbung auf eine ordnungsgemäße k- Kanten-Färbung des Diagramms G erweitert werden kann .
Die Kantenvorfärbungserweiterung (und ihre Farbvariante für Listenkanten) ist NP-vollständig für zweigeteilte seriell-parallele Graphen [3] (solche Graphen haben höchstens eine Baumbreite von 2).
Minimale Summenkantenfärbung Bestimme in einem Graphen eine Kantenfärbung χ : E → N, so dass, wenn e 1 und e 2 einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben, χ ( e 1 ) ≠ χ ( e 2 ) . Das Ziel ist es, E ' χ ( E ) = ∑ e ∈ E χ ( e ) , die Summe der Färbung, zu minimieren .
Mit anderen Worten, wir müssen den Kanten eines Graphen positive Ganzzahlen zuweisen, sodass benachbarte Kanten unterschiedliche Ganzzahlen erhalten und die Summe der zugewiesenen Zahlen minimal ist. Dieses Problem ist NP-schwer für partielle 2-Bäume [4] (dh Graphen mit einer Baumbreite von höchstens 2).
Andere derartige schwierige Probleme umfassen das Problem mit kantendisjunkten Pfaden, das Problem mit dem Subgraph-Isomorphismus und das Bandbreitenproblem (siehe z. B. [5] und die darin enthaltenen Referenzen). Informationen zu Problemen, die auch bei Bäumen bestehen bleiben, finden Sie in dieser Frage .