Algebraorientierter Zweig der theoretischen Informatik

Ich habe eine sehr starke Basis in der Algebra, nämlich

• kommutative algebra,
• homologische algebra,
• Feldtheorie,
• Kategorietheorie,

und ich lerne gerade algebraische Geometrie.

Ich bin ein Hauptfach Mathematik mit der Neigung, in die theoretische Informatik zu wechseln. Unter Berücksichtigung der oben genannten Felder, auf welches Feld sollte in der theoretischen Informatik am besten gewechselt werden? Das heißt, in welchem ​​Bereich können die Theorie und die mathematische Reife, die durch die Verfolgung der oben genannten Bereiche erzielt werden, zum eigenen Vorteil genutzt werden?

In jüngster Zeit gab es Entwicklungen in der Theorie abhängiger Typen, die Typsysteme mit Homotopietypen in Beziehung setzen .

Dies ist zwar ein relativ kleines Feld, aber es wird gerade eine Menge aufregender Arbeit geleistet, und möglicherweise auch viel hängendes Obst, insbesondere bei der Portierung von Ergebnissen aus der algebraischen Topologie und der homologischen Algebra und der Formalisierung des Begriffs der höherinduktiven Typen .

Die algebraische Geometrie wird häufig in der algebraischen Komplexitätstheorie und insbesondere in der geometrischen Komplexitätstheorie verwendet. Die Darstellungstheorie ist auch für letztere von entscheidender Bedeutung, sie ist jedoch noch nützlicher, wenn sie mit algebraischer Geometrie und homologischer Algebra kombiniert wird.

Ihre Kenntnisse der Feldtheorie wären in der Kryptographie von Nutzen, während die Kategorietheorie bei der Erforschung von Programmiersprachen und Schreibsystemen, die beide eng mit den Grundlagen der Mathematik verwandt sind, eine wichtige Rolle spielt.

Die Feldtheorie und die algrebraische Geometrie wären sowohl in der klassischen Umgebung als auch beim Studium lokal decodierbarer Codes und der Listendecodierung in Bezug auf fehlerkorrigierende Codes nützlich. Ich glaube, dass dies auf die Reed-Solomon- und Reed-Muller-Codes zurückgeht, die dann auf algebraische geometrische Codes verallgemeinert wurden. Siehe zum Beispiel dieses Buchkapitel über die klassische Codierungstheorie der algebraischen geometrischen Codes, diese kurze Übersicht über lokal decodierbare Codes und dieses berühmte Papier über das Listendecodieren von Reed-Solomon- und allgemeiner algebraischen Geometrie-Codes.

Es gibt einige Probleme in der rechnergestützten Lerntheorie, im maschinellen Lernen und in der Bildverarbeitung, die mit kommutativer Algebra und algebraischer Geometrie gelöst werden können. Beispielsweise kann die Konvergenz des Belief Propagation-Algorithmus, eines Message-Passing-Algorithmus für die Bayes'sche Inferenz, formuliert werden, um die affine Vielfalt des Polynomgleichungssystems zu charakterisieren .

Haben Sie darüber nachgedacht, sich mit Computeralgebra zu beschäftigen? Axiom ist ein Computeralgebrasystem, bei dem das Typensystem der Kategorietheorie (oder der Universalalgebra, je nach Ihrer Ansicht) nachempfunden ist. Es gibt zwei weitere Derivate von Axiom FriCAS und OpenAxiom .

Wenn Sie sich für Kategorietheorie interessieren, ist das Typensystem möglicherweise eine Sache, die Sie sich ansehen sollten.

In Axiom ist jedes "Item" (zB "1", "5 * x ** 2 + 1") ein Element einer Domain. Eine "Domäne" ist ein Axiom-Objekt, das als Mitglied einer bestimmten Kategorie deklariert wurde (z. B. Ganzzahl, Polynom (Ganzzahl). Eine Axiom-Kategorie ist ein Axiom-Objekt, das als Mitglied des definierten Symbols "Kategorie" deklariert wurde (z. B. Ring, Polynom) (R, E, V)).

Es gibt ein Vererbungsgitter für die Mehrfachvererbung unter Kategorien. zB Die Category Monad erbt von SetCategory, Monoid von Monad, Group von Monoid, etc. etc.

Es gibt auch einen Polymorphismus höherer Ordnung, ähnlich wie bei Generics in Java.

Einige Aktionen innerhalb von Axiom können als Functors angesehen werden, aber das wäre ziemlich viel, um hier darauf einzugehen!

Wenn Sie Axiom nur ohne Rücksicht auf die Kategorietheorie als typischen Endbenutzer verwenden möchten, ist ein symbolisches Rechensystem genau die richtige Software, um einzelne Algebren zu untersuchen.

$L \subseteq X^{\ast}$ natürlich mit einer monoiden Struktur über die Nerode-Myhill-Kongruenzbeziehung assoziiert ist.

Die folgenden Personen haben diese algebraische Sichtweise für reguläre Sprachen verwendet: Samuel Eilenberg über Automatentheorie, Jean Berstel , Jean-Eric Pin , Marcel Schützenberg und Krohn-Rhodes-Theorie .

Es gibt auch eine nicht-triviale Algebra, die in die Arbeit um die Cerny-Vermutung involviert ist. Das meiste davon ist ziemlich kombinatorisch. Aber in jüngerer Zeit habe ich mehr mit linearer Algebra, Ringtheorie und Darstellungstheorie zu tun gesehen, um Benjamin Steinberg und Jorge Almeida zu arbeiten .

Übrigens kommt man in diesen Bereichen mit Semigruppen-, Monoid- und Gruppentheorie recht gut zurecht, aber Kategorietheorie und Homotopietheorie werden in diesem Bereich nicht so häufig angewendet. Aber vielleicht interessant zu bemerken, dass S. Eilenberg einer der Gründungsväter der Kategorietheorie war, obwohl er sich zuvor mit der Automatentheorie befasst hatte.

Die These von Brent Yorgey ist zwar noch ein Entwurf, leistet aber erstaunliche Arbeit, um zu erklären, warum Ihre Interessen für TCS relevant sind.

Hier ist Joyals Vortrag im vergangenen April über verwandtes Material.

Ich weiß nicht, ob Sie an Industrie gedacht haben, aber die Firma Ayasdi leistet erstaunliche Arbeit, indem sie eine Menge Homotopie und andere angewandte topologische Methoden innerhalb der Datenwissenschaft anwendet. Sie verbinden viel Theorie mit Anwendungen. Schauen Sie sich die Stanford Comptop-Website an, um zu sehen, was sie vorhaben. (Die Mehrheit der Leute kam von dort).

Zusätzlich zu dem, was alle anderen gesagt haben (ich denke, die größte Anwendung dieser Zweige liegt in der Tat in Typensystemen):

• Zur Analyse des Verhaltens verteilter Systeme und zur Analyse des Datenflusses in Compilern werden im Allgemeinen die Gittertheorie und Teilordnungen häufig angewendet.
• Ich sah auch Galois-Verbindungen, die auf maschinelles Lernen angewendet wurden (insbesondere Textklassifizierung: Die Galois-Verbindung zwischen Teilmengen der linken und rechten Eckpunkte eines zweigeteilten Dokuments / Wortgraphen, die es ermöglichte, einen Algorithmus dramatisch zu beschleunigen).

Die Verbindungen zwischen Algebra und Theoretischer Informatik sind sehr stark. Nic Doye erwähnte bereits die Computer-Algebra, bezog jedoch die Theorie der Umschreibungssysteme, die ein wesentlicher Bestandteil der Computer-Algebra ist, mit Anwendungen zur automatischen Lösung von Gleichungen und zum automatischen Denken nicht ausdrücklich ein. Zeichenkettenumschreibungssysteme sind ein wichtiger Teilbereich mit Anwendungen in der rechnergestützten Gruppentheorie. Schauen Sie sich beispielsweise das Buch "String Rewriting Systems" von Ronald Book und Friedrich Otto an.

Es gibt auch die Verbindung zwischen Graphentheorie und Algebra, die beispielsweise die gut entwickelte Spektraltheorie von Graphen und komplexen Netzwerken sowie die Theorie der Graphensymmetrien (Cayley-Graps, vertextransitive Graphen und andere Arten symmetrischer Graphen) umfasst , die häufig als Modelle für Verbindungsnetze in Parallelrechnern verwendet werden). Im Buch "Algebraic Graph Theory" von Chris Godsil und Gordon Royle finden Sie einen Überblick über die verschiedenen Themen.

Überprüfen Sie die Situation in Computer Vision. Es gibt viele Themen, insbesondere vom algorithmischen Typ, für die die ersten drei Bereiche, die Sie auflisten, sehr nützlich sind.