Natürliche Komplettprobleme in höheren Ebenen der


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Die Hierarchie ist eine Hierarchie von Komplexitätsklassen W [ t ] in parametrisierter Komplexität . Definitionen finden Sie im Complexity Zoo . Eine alternative Definition definiert W [ t ] unter Verwendung der gewichteten Fagin-Definierbarkeit für Π t -Formeln der Logik erster Ordnung, siehe das Lehrbuch von Flum und Grohe .WW[t]W[t]Πt

Für die niedrigsten Klassen und W [ 2 ] sind viele natürliche vollständige Probleme bekannt, z. B. sind Clique und Independent Set für W [ 1 ] und Dominating Set und Hitting Set für W [ 2 ] jeweils vollständig von diesen Problemen wird definiert als das entsprechende bekannte N P -komplette Problem mit der Größe der erforderlichen Lösung, die als Parameter festgelegt ist. W[1]W[2]W[1]W[2]NP

Gibt es irgendwelche bekannten natürlichen vollständigen Probleme für Klassen höher in der Hierarchie, insbesondere für W [ 3 ] und W [ 4 ] ?WW[3]W[4]


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In diesem Artikel wird bewiesen, dass p-HYPERGRAPH- (NON) -DOMINATING-SET unter fpt-Reduktionen W [3] -vollständig ist ... aber ich denke, dass es schwierig ist, es als "natürlich" zu betrachten :-) :-)
Marzio De Biasi

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Nun, zumindest sieht es natürlicher aus als die bestimmenden Probleme, nicht wahr?
Jan Johannsen,

Antworten:


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Aus dem obigen Kommentar:

-HYPERGRAPH- (NON) -DOMINATING-SETpist W [3] -vollständig unter fpt-Reduktionen:

Ein Hypergraph besteht aus einer Menge V von Eckpunkten und einer Menge E von Hyperecken. Jede Hyperkante ist als Teilmenge von V . In einem 3-Hypergraphen haben alle Kanten die Größe 3. Wenn H = ( V , E ) ein 3-Hypergraphen ist, gilt jedes a VH=(V,E)VEVH=(V,E)aV induziert ein Graph gegeben ist durch:Ha=(Va,Ea)

und E a = { { u , v } { a , u , v } E }Va={vVva and there is eE with a,ve}Ea={{u,v}{a,u,v}E}

Eingabe : Ein 3-Hypergraph , eine Menge M V und k 1 . Parameter : k . Problem : Entscheide, ob es eine Menge D V der Kardinalität k gibt, so dass:H=(V,E)MVk1
k
DVk

  • wenn , dann ist D eine dominierende Menge von H a ,aMDHa
  • wenn , dann ist D keine dominierende Menge von H a .aMDHa

siehe Yijia Chen, Jörg Flum und Martin Grohe. Eine Analyse der W * -Hierarchie. Das Journal of Symbolic Logic, Vol. 72, Nr. 2 (Juni 2007), S. 513-534


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Die Definition der Probleme in diesem Artikel ist nicht leicht zu lesen, da die Autoren nicht klar zwischen dem Modell und dem, was modelliert wird, unterscheiden. Aber soweit ich sie verstehe, handelt es sich nur um dünn getarnte SAT-Probleme mit gewichteten Leitungen. Sie können für die Anwendungsdomäne nützlich sein, aber ich bezweifle, dass sie bequemer zu reduzieren sind.
Jan Johannsen

Ich stimme Ihnen teilweise zu, dass diese Probleme nicht so natürlich sind wie Vertex Cover / Clique / Dominating Set usw. Aber da immer mehr Probleme untersucht werden, aber keine neuen Kandidaten auftauchen, müssen wir uns möglicherweise diesen subnatürlichen Problemen zuwenden.
Yixin Cao

Ich sage nicht, dass diese Probleme nicht natürlich sind. Was ich damit sagen will, ist, dass sie sich nicht sehr von den Weighted SAT-Problemen für Schaltkreise der Tiefe drei unterscheiden. Soweit ich weiß, handelt es sich um mehr oder weniger dasselbe Problem, das in einer anderen Terminologie geschrieben ist.
Jan Johannsen
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