Referenz für (ungerade-Loch, Anti-Loch) -freie Graphen?

X-freie Graphen sind solche, die keinen Graphen von X als induzierten Untergraphen enthalten. Ein Loch ist ein Zyklus mit mindestens 4 Eckpunkten. Ein ungerades Loch ist ein Loch mit einer ungeraden Anzahl von Eckpunkten. Ein Anti- Loch ist das Komplement eines Lochs.

Die (ungeradzahligen, ungeradzahligen) Graphen sind genau die perfekten Graphen. Dies ist das Strong Perfect Graph Theorem . Es ist möglich, die größte unabhängige Menge (und die größte Clique) in einem perfekten Graphen in der Polynomzeit zu finden, aber die einzige bekannte Methode, dies zu tun, erfordert die Erstellung eines semidefiniten Programms zur Berechnung der Lovász-Theta-Zahl .

Die (loch-, anti-loch-) freien Graphen werden als schwach akkordisch bezeichnet und bilden eine recht einfache Klasse für viele Probleme (einschließlich INDEPENDENT SET und CLIQUE ).

Weiß jemand, ob (ungerade-Loch-, Anti-Loch-) freie Graphen untersucht oder darüber geschrieben wurden?

Diese Graphen treten auf ganz natürliche Weise bei Bedingungserfüllungsproblemen auf, bei denen der Graph verwandter Variablen einen Baum bildet. Solche Probleme sind recht einfach, daher wäre es schön, wenn es einen Weg gäbe, eine der größten unabhängigen Mengencliquen für Diagramme in dieser Familie zu finden, ohne das Lovász-Theta berechnen zu müssen.

Gleichermaßen möchte man eine größte unabhängige Menge für (Loch-, ungerade-Anti-Loch-) freie Graphen finden. Hsien-Chih Chang weist darauf hin, warum dies für INDEPENDENT SET eine interessantere Klasse ist als (ungerade Löcher, Anti-Löcher) -freie Graphen.

In der Tat ist es relativ einfach. Um das Problem der unabhängigen Mengen in (ungeraden, Anti-Loch-) Graphen zu untersuchen, nehmen wir eine Ergänzung der Graphen und versuchen, eine maximale Clique darin zu finden. Somit wird es zum maximalen Clique-Problem in (Loch-, Anti-Odd-Hole) -freien Graphen.

In Abschnitt 2 der Arbeit " Triangulated Neighborhoods in Even-hole-free Graphs " von da Silva und Vuskovic gaben sie an, dass Farber zum ersten Mal zeigt

$O(n^2)$

Dann stellte ihr Hauptsatz fest, dass

$O(n + m)$$O(n^2m)$

$O(n^2m)$

$\overline{K_{2,m}}$

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Oh, ein anderer Gedanke kam heraus. (Loch, ungerades Loch) -freie Graphen sind im folgenden Sinne fast schwach akkordisch: Da 4-Loch-frei impliziert, gibt es nur noch Anti-Löcher mit den Größen 4 bis 7 (alle k-Anti-Löcher mit den Größen>) 7 enthält ein 4-Loch), und es ist auch ungerade-Loch-frei, was die Größe der Anti-Löcher auf 4 und 6 beschränkt, es sind fast keine Löcher / Anti-Löcher in der Grafik! Ein Poly-Time-Algorithmus erscheint daher für solche Graphen plausibel.