Ich besitze ein Buch, das, inspiriert von Russells Principia Mathematica (PM) und dem logischen Positivismus, versucht, einen bestimmten Bereich zu formalisieren, indem es Axiome bestimmt und daraus Theoreme ableitet. Kurz gesagt, es wird versucht, für seine Domäne das zu tun, was PM für die Mathematik versucht hat. Wie PM wurde es geschrieben, bevor ein automatisierter Theorembeweis (ATP) möglich war.
Ich versuche, diese Axiome in einem modernen ATP-System darzustellen und Theoreme abzuleiten, zunächst die vom Autor (von Hand) abgeleiteten. Ich habe noch nie ein ATP-System verwendet und angesichts der Vielzahl von Optionen (HOL, Coq, Isabelle und viele mehr) mit ihren Stärken, Schwächen und beabsichtigten Anwendungen ist es schwierig zu entscheiden, welche für meine spezifischen geeignet sind Zweck.
Der Formalismus des Autors spiegelt PM sehr gut wider. Es gibt Klassen (Mengen?), Klassen von Klassen usw. mit bis zu 6 Hierarchieebenen. Es gibt eine Logik erster Ordnung und möglicherweise eine Logik höherer Ordnung. Angesichts der Verbindung zu PM habe ich zunächst Metamath untersucht, da andere Theoreme von PM in MetaMath von anderen Personen bewiesen wurden. Metamath ist jedoch natürlich ein Beweisprüfer und kein ATP-System.
Bei der Beschreibung verschiedener ATP-Systeme sehe ich verschiedene Merkmale, wie z. B. Implementierungen der Typentheorie der Kirche, konstruktive Typentheorien, intuitionistische Typentheorien, typisierte / untypisierte Mengenlehre, natürliche Deduktion, Arten von Lambda-Kalkülen, Polymorphismus, rekursive Funktionstheorie und die Existenz von Gleichheit (oder nicht). Kurz gesagt, jedes System scheint eine ganz andere Sprache zu implementieren und muss für die Formalisierung verschiedener Dinge geeignet sein. Ich gehe davon aus, dass vorhandene Bibliotheken zur Formalisierung der Mathematik für meinen Zweck nicht relevant sind.
Jeder Rat bezüglich der Eigenschaften, die ich bei der Auswahl eines ATP einholen sollte, oder jeder andere Rat, den Sie nach dem Lesen dieser Frage haben könnten, wäre sehr dankbar. Als Referenz finden Sie hier eine Beispielseite aus dem Buch. Leider ist es wie PM in Peano-Russell-Notation.
Das Buch -
"Die axiomatische Methode in der Biologie" (1937), JH Woodger, A. Tarski, WF Floyd
Die Axiome beginnen mit dem mereologischen. Beispielsweise,
1.1.2 ist die Summe von wenn in den Teilen von , und wenn ein Teil von gibt es immer ein das zu und Teile hat, die mit den Teilen von :
Beachten Sie erneut, dass dies die Peano-Russell-Notation (die Notation von Principia) ist.
Spätere Axiome haben biologischen Inhalt, wie z.
7.4.2 Wenn sich Gameten zweier Mitglieder einer Mendelschen Klasse paarweise zu Zygoten vereinigen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein bestimmtes Paar vereinigt, gleich der des anderen Paares.
Soweit ich weiß, war dies ein Postulat der Mendelschen Genetik.
Ich lasse die Notation dafür weg, weil sie drei Zeilen lang ist und auf zuvor definierten Inhalten aufbaut.
Beispiel eines Satzes -
Dies hat anscheinend eine bedeutungsvolle Interpretation in der Mendelschen Genetik, die ich als Historiker der Biologie nicht verstehe. In dem Buch wurde es von Hand abgeleitet.
Vielen Dank!