Die ISGCI listet über 1100 Klassen von Graphen auf. Für viele von diesen wissen wir, ob INDEPENDENT SET in polynomialer Zeit entschieden werden kann; Diese werden manchmal als IS-easy-Klassen bezeichnet . Ich möchte eine Liste von maximal IS-easy Klassen zusammenstellen. Diese Klassen bilden zusammen die Grenze der (bekannten) Handhabbarkeit für dieses Problem.
Da jeder unendlichen IS-easy-Klasse nur eine endliche Anzahl von Diagrammen hinzugefügt werden kann, ohne die Traktierbarkeit zu beeinträchtigen, sind einige Einschränkungen angebracht. Beschränken wir die Klassen auf diejenigen, die erblich bedingt sind (abgeschlossen unter Verwendung induzierter Subgraphen oder äquivalent definiert durch eine Menge ausgeschlossener induzierter Subgraphen). Betrachten wir außerdem nur die Familien, die für eine Menge X mit einer kleinen Beschreibung X-frei sind. Es könnten sind auch seine unendlichen aufsteigende Ketten lenkbar Klassen (wie -free und die von David Eppstein unten beschriebenen Klassen), aber beschränken wir uns auf Klassen, die sich tatsächlich als IS-leicht erwiesen haben.
Hier sind die, die ich kenne:
- perfekte Grafiken
- -frei
- -frei
- Co-Meyniel
- fast zweiteilig
- Stuhl frei
- ( , Cricket) -frei
- -frei(für ein beliebiges festes )
- -frei
Sind andere solche Maximalklassen bekannt?
Bearbeiten: Siehe auch eine verwandte Frage von Jaroslaw Bulatow, die sich mit Klassen befasst, die von ausgeschlossenen Minderjährigen definiert wurden. Was ist für Diagramme mit Ausschluss von Minderjährigen einfach? und Globale Eigenschaften von Erbklassen sehen? für eine allgemeinere frage habe ich vorher nach erblichen klassen gefragt.
Wie Jukka Suomela in den Kommentaren ausführt, ist der Fall des Ausschlusses von Minderjährigen ebenfalls interessant (und würde eine interessante Frage aufwerfen), aber dies steht hier nicht im Mittelpunkt.
Um Davids Beispiel zu vermeiden, sollte eine maximale Klasse auch als X-freie Diagramme definierbar sein, wobei nicht jedes Diagramm in X einen unabhängigen Scheitelpunkt hat.
Klassen in Antworten unten angegeben:
- apfelfrei (vorgeschlagen von Standa Živný)
- ( , Haus) -frei (vorgeschlagen von David Eppstein)
- ( Klaue) -frei (vorgeschlagen von David Eppstein)
Hinzugefügt am 09.10.2013: Das jüngste Ergebnis von Lokshtanov, Vatshelle und Villanger, das von Martin Vatshelle in einer Antwort erwähnt wurde, ersetzt einige der zuvor bekannten Maximalklassen.
Insbesondere ist -frei, wenn es IS-leicht ist, unterstellt ( P 5 , Cricket) -frei, ( P 5 , K n , n ) -frei, ( P 5 , X 82 , X 83 ) -frei und ( P 5 , Haus) -frei alles ist IS-leicht.
Dies bedeutet, dass alle erblichen Graphenklassen, die durch einen einzelnen verbotenen induzierten Subgraphen mit bis zu fünf Eckpunkten definiert sind, nun endgültig als IS-leicht oder nicht-IS-leicht klassifiziert werden können.
Leider scheint der Beweis, dass -freie Graphen eine IS-easy-Klasse bilden, für P 6 -freie Graphen nicht zu funktionieren , daher besteht die nächste Grenze darin, alle erblichen Graphenklassen zu klassifizieren, die durch einen einzelnen Sechs-Vertex-Graphen definiert sind.
Ich interessiere mich weiterhin besonders für IS-easy-Klassen der Form für einige Sammlung X von Graphen mit unendlich vielen Isomorphismusklassen, wobei Y -frei für kein Y ⊂ X IS-leicht ist .