Zufällige Einschränkungen und die Verbindung zum vollständigen Einfluss von Booleschen Funktionen

Angenommen, wir haben eine Boolesche Funktion und wenden die zufällige Einschränkung auf . Angenommen, der Entscheidungsbaum , der berechnet, schrumpft aufgrund der zufälligen Einschränkung auf die Größe . Bedeutet dies, dass einen sehr geringen Gesamteinfluss hat? $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ $\delta$ $f$ $T$ $f$ $O(1)$ $f$

— Amit Levi
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δ

$\delta$ ist eine Konstante zwischen 0 und 1 und hängt nicht von n ab?

— Kaveh

Ja. In der Tat ist

δ \in [0, 1]

$\delta\in[0,1]$ .

— Amit Levi

Ich bin mir nicht sicher, ob Sie danach suchen, aber nach dem Schalt-Lemma, wenn eine Funktion durch eine DNF mit kleiner Breite dargestellt werden kann, würde sie auf einen Entscheidungsbaum konstanter Größe schrumpfen. DNFs mit geringer Breite haben einen geringen Gesamteinfluss, und man kann Entscheidungsbäume über DNFs ausdrücken, so dass es moralisch so scheint, als ob dies der Fall ist.

Claim: Wenn -random Beschränkung hat Entscheidungsbaum der Größe (in Erwartung), dann ist die gesamte Einfluß solcher ist . $\delta$ $f$ $O(1)$ $f$ $O(\delta^{-1})$

$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$ $\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$ $\delta$ $i \in [n]$ $x_i$

Wenn nun die Beschränkung den Entscheidungsbaum von auf die Größe reduziert , dann hängt insbesondere die Beschränkung von von koordiniert ist. Lassen Sie uns nun eine zufällige nicht fixierte Koordinate (unter ) auswählen und alle anderen zufällig fixieren. Da die Beschränkung von von höchstens Koordinaten abhängt , erhalten wir eine Funktion (auf einem Bit), die mit der Wahrscheinlichkeit höchstens nicht konstant ist . Daher ist nach Bedarf. $\delta$ $f$ $O(1)$ $\delta$ $f$ $r = O(1)$ $\delta n$ $\delta$ $f$ $r$ $\frac{r}{\delta n}$ $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Bemerkung: Die obige Behauptung ist eng, indem eine Paritätsfunktion für -Bits verwendet wird. $O(1/\delta)$

— Igor Shinkar
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