Eine Charakterisierung mit fester Tiefe von ? ?

Dies ist eine Frage zur Schaltungskomplexität. (Definitionen finden Sie unten.)

Yao und Beigel-Tarui zeigten, dass jede Schaltkreisfamilie der Größe eine äquivalente Schaltkreisfamilie der Größe der Tiefe zwei aufweist , wobei das Ausgangsgatter eine symmetrische Funktion ist und die zweite Ebene besteht von Gattern von fan-in. Dies ist ein ziemlich bemerkenswerter "Tiefenzusammenbruch" einer Schaltkreisfamilie: Ab einem Schaltkreis mit einer Tiefe von 100 kann die Tiefe auf 2 verringert werden, mit nur einer quasi-polynomiellen Explosion (und einem ausgefallenen, aber immer noch eingeschränkten Gate oben). $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$

Meine Frage: Gibt es eine bekannte Möglichkeit, eine Schaltkreisfamilie auf ähnliche Weise auszudrücken ? Ehrgeiziger, was ist mit einer Schaltkreisfamilie? Mögliche Antworten hätten die Form: "Jede Schaltung der Größe kann durch eine Familie mit zwei Tiefen der Größe erkannt werden , wobei das Ausgangsgatter eine Funktion des Typs und die zweite Ebene von Gattern den Typ hat " . $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

Es muss nicht hat sein Tiefen zwei, jede Art von Fest Tiefes Ergebnis wäre interessant. Es wäre sehr interessant zu beweisen, dass jede Schaltung in der Tiefe 3 durch eine Schaltung dargestellt werden kann, die nur aus symmetrischen Funktionsgattern besteht. $TC^0$

Einige kleinere Beobachtungen:

Wenn die Antwort für jede Boolesche Funktion trivial (wir können jede Funktion als von ausdrücken ). Nehmen wir zur Konkretisierung an, dass . $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
Die Antwort ist auch trivial, wenn entweder oder eine beliebige in berechenbare Funktion sein darf ... :) Ich bin offensichtlich an "einfacheren" Funktionen interessiert, was auch immer dies bedeutet. Es ist etwas rutschig zu definieren, da es symmetrische Funktionsfamilien gibt, die nicht berechenbar sind. (Es gibt unäre Sprachen, die nicht kompatibel sind.) Wenn Sie möchten, können Sie einfach und durch symmetrische Funktionen in der Anweisung ersetzen. Ich würde mich jedoch für jede andere gute Auswahl an Toren interessieren. $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

(Nun einige kurze Erinnerungen an die Notation:

$ACC^0$ ist die Klasse, die von einer Familie unbegrenzter Fan-In-Schaltungen mit konstanter Tiefe mit , und Gattern für eine von der Schaltungsgröße unabhängige Konstante . Ein Gatter gibt wenn die Summe seiner Eingänge durch teilbar ist . $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ ist die Klasse, die von Schaltkreisen mit konstanter Tiefe und Gates mit unbegrenztem Fan-In erkannt wird . $MAJORITY$

$NC^1$ ist die Klasse, die von Schaltungen mit logarithmischer Tiefe mit , , Gattern mit begrenztem Fan-In erkannt wird . $AND$ $OR$ $NOT$

Es ist bekannt, dass wenn die Schaltungsgröße in der Anzahl der Eingänge auf ein Polynom beschränkt ist.) $ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— Ryan Williams
quelle

Man beachte , dass ein Polynom Größe Tiefe - Schaltung aus symmetrischen Gattern bestehen , kann durch eine Polynom Größe Tiefe berechnet werden - Schaltung von MAJ - Gattern besteht. (Hier ist wie üblich die Anzahl der Drähte). Sie fragen sich also, ob auf sich selbst reduziert werden kann?

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Ja, das ist eine Sichtweise! Im Allgemeinen suche ich nach interessanten Simulationen mit fester Tiefe von oder .

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

— Ryan Williams

Ryan, ich verstehe nicht, welche Art von Antwort Sie hier suchen. Wenn Sie wirklich über symmetrische Gatter sprechen (da diese mit der Mehrheit von Tiefe zwei simuliert werden können), ist Ihre Frage gleichbedeutend mit dem Zusammenbruch von TC0 auf konstante Tiefe (möglicherweise mit einer leichten Zunahme von Superpolynomen) - eine allgemein bekannte offenes Problem. Wenn Sie bereit sind, die Symmetrie zu "lockern", dann scheint Barringtons Ergebnis so gut zu sein, wie Sie es sich erhoffen können?

— Noam

@Noam: Ich würde gerne sehen, ob es noch andere interessante Antworten gibt. Wenn nicht, gebe ich die 300 an Lance. Es gibt auch Zwischenmöglichkeiten, z. B. Dreischaltkreise mit einer symmetrischen Funktion am Ausgang, die jedoch auf den beiden anderen Schichten nicht unbedingt symmetrisch sind. Jedenfalls ist es die 300-Kopfgeld-Summe wert, Sie für 5 Minuten zum Nachdenken zu bewegen.

— Ryan Williams

Und jetzt (nach dem 8. November) kennen wir den Ursprung dieser Frage ...

— slimton

Antworten:

Hier ist eine leichte Erweiterung meines Kommentars zur Antwort von Boaz. Agrawal, Allender und Datta geben in ihrem Aufsatz On , und Arithmetic Circuits $TC^0$ $AC^0$ eine Charakterisierung von in Bezug auf arithmetische Schaltungen. Sie zeigen nämlich, dass eine Sprache in wenn und nur es eine Funktion in und eine ganze Zahl so dass $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ genau dann, wenn . $f(x) = 2^{|x|^k}$

Beachten Sie, dass eine spezielle Form einer Konstanttiefen-Arithmetikschaltung über (nur die Konstanten 0 und 1 sind zulässig, und variable Eingaben können oder ). $\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

Angesichts der Tatsache, dass es, wie Boaz in seiner Antwort ausführt, eine nicht triviale Tiefenreduktion für arithmetische Schaltungen gibt, könnte dies ein Grund zur Prüfung sein.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
quelle

Der Satz von Barrington sollte für Poly-Size-Schaltkreise der Tiefe 3 mit einem nicht allzu seltsamen oberen Gate liefern (multipliziert 5 Zyklen). $NC^1$

— Lance Fortnow
quelle

Ich stimme zu, dass der Satz von Barrington hier etwas Interessantes impliziert. Aber dieses Ausgangstor ist eine sehr "unsymmetrische" Funktion :)

— Ryan Williams

Eigentlich sieht es so aus, als ob Sie eine Schaltung der Tiefe 1 erhalten ... Wenn Sie eine Permutation als (sagen wir) 5x5-Boolesche Matrix darstellen, sind es nur Projektionen zum Permutations-Multiplikations-Gate.

— Noam

Ich kenne keine Antwort und schätze, es ist eine offene Frage. Es gibt nur sehr wenige bekannte Beispiele für solche "überraschenden Simulationen", die Yao / Beigel-Tarui und Barrington ähneln. Eine Sache in dieser Richtung, die in den Sinn kommt, ist das Ergebnis von Valiant, dass für jedes , das durch -tiefe berechnet werden kann. -große Schaltung, es gibt in , das mit auf Eingängen übereinstimmt . (Und wenn die Schaltung für nur lineare Operationen verwendet, führt die Schaltung für zur unteren Grenze / Matrixsteifigkeitsverbindung). Aber anders als $f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$ Hierbei handelt es sich um Funktionen mit mehreren Ausgängen und auch nur für Schaltungen mit linearer Größe. Es ist auch zu beachten, dass für arithmetische Schaltungen eine nicht triviale Reduktion auf die Tiefe 4 bekannt ist.

— Boaz Barak
quelle

Interessanterweise gibt es auch eine arithmetische Charakterisierung von : cse.iitk.ac.in/users/manindra/other/…

T C^{0}

$TC^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Die arithmetische Schaltungsreduzierung auf Tiefe 4 ist ein weiteres gutes Beispiel. Ich weiß, dass Valiant gezeigt hat, dass Sie Drähte jeder linearen Größe und logarithmischen Tiefe schneiden können, sodass der verbleibende Stromkreis nur Tiefe hat. Ich vermute, dies beinhaltet das " , das mit übereinstimmt "?

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

— Ryan Williams

Kristoffer, kannst du deinen Link als separate Antwort hinzufügen? Vielen Dank!

— Ryan Williams

@Ryan Ja, wenn wir diese Drähte auf einen typischen Wert festlegen , sehen wir, dass die verbleibende Schaltung (bei der jeder Ausgang von höchstens Eingängen abhängt ) mit der ursprünglichen Funktion von übereinstimmt. Eingänge.

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$

— Boaz Barak