Formale Darstellung von Ringen in Berechnungen

Beim Lesen einer Abhandlung über die Verwendung algebraischer Methoden zur Erkennung einiger induzierter Teilgraphen scheint das Kantenideal ein wichtiges Werkzeug zu sein, das kommutative Algebra und Graphentheorie verbindet. Gibt es gute Referenzen oder Bücher zu diesem Thema, da ich mit Berechnungen algebraischer Objekte nicht vertraut bin? Besonderheit bei der Darstellung eines Rings R auf einer Turing-Maschine und die Komplexität der Entscheidung über grundlegende Eigenschaften von R (z. B. die Höhe eines Primideals in R.)

Ihre Fragen beziehen sich auf ein Feld (kein Wortspiel beabsichtigt) namens "Computer Algebra". Ich selbst war auf der Suche nach umfassenden Umfragen, als ich an algebraischen Methoden arbeitete, um verschiedene Kennzahlen für die Zentralität von Graphen zu berechnen. Ich konnte keine guten Umfragen finden, aber dieses Buch war teilweise hilfreich. Die Forschungsarbeiten zu diesem "Thema" sind verstreut und oft nicht explizit als "Computeralgebra" kategorisiert. Das Lesen algorithmischer Arbeiten zu Isomorphismus, Factoring (Ganzzahlen / Polynome) und Graph-Algorithmen, die auf Matrix-Multiplikation basieren, bietet möglicherweise weitere Einblicke.

Nach meinem besten Wissen:

1. Wenn Sie in einem algebraischen Rechenmodell etwas über Untergrenzen lesen , ist die übliche Annahme, dass die Ring- oder Feldoperationen konstante Kosten haben , dh als Primitive angegeben sind. Dies ist die Annahme, die in einer der Hauptquellen zum Thema gemacht wurde: Burgisser, Clausen, Shokrollahi- Algebraische Komplexitätstheorie (Springer, 1997). (Und dies wird zum Beispiel durch algebraische Schaltkreise modelliert.)

2. Wenn man von Obergrenzen spricht , für Standardfragen in algebraischer Komplexität, wie beim Studium von Verfahren zum Testen der polynomiellen Identität, dann ist die Standardannahme, dass die Ring- oder Feldoperationen in polytime berechnet werden können. Dies bedeutet, dass man über die ganzen Zahlen oder über die rationalen Zahlen arbeitet und es leicht ist, ein Codierungsschema zu finden, das solche effizienten Berechnungen der Grundoperationen ermöglicht.

3. Für andere mir bekannte Zwecke im Zusammenhang mit algebraischen Modellen ist die Art und Weise, wie der Ring oder das Feld dargestellt wird, eine echte Frage, und manchmal gibt es keine effiziente Möglichkeit, dies zu tun, und es kann sogar Fragen der Unentscheidbarkeit geben. Die mir bekannten Referenzen, die diese Art von Fragen behandeln, sind das Buch, das Shiva Kintali gegeben hat, und auch: Algorithmic Algebra , Bhubaneswar Mishra, Springer 1993: Kapitel 3 befasst sich mit Möglichkeiten, bestimmte Ringe darzustellen.

Weitere interessante Bücher könnten sein: Zur Gathen und Jürgen Gerhard, Modern Computer Algebra , Cambridge, 1999. Und möglicherweise Victor Shoup, Eine Einführung in die Zahlentheorie und Algebra (online verfügbar).

Möglicherweise haben Sie auch Glück mit den Schlüsselwörtern "Berechnungsalgebra" und "Berechnungsalgebraische Geometrie". Versuchen Sie CLO als Ausgangspunkt, und schauen Sie sich J. Symbolic Computation und Systeme wie Macaulay2 und Singular sowie die entsprechenden Artikel an. Der große Hammer sind Gr \ "obner-Basen, deren Berechnung viele algebraische Probleme lösen wird, aber im schlimmsten Fall im Allgemeinen doppelt exponentiell ist.