Für welche Graphenfamilien gilt Generalized Geography in

Wie @Marzio erwähnte, ist das folgende Spiel als Generalized Geography bekannt .

Bei einem Graphen und einem Startscheitelpunkt ist das Spiel wie folgt definiert: $G=(V,E)$ $v \in V$

In jeder Runde (zwei Spieler wechseln sich ab) wählt ein Spieler , und dann passiert Folgendes: $u\in N(v)$

sowie alle seine Kanten werden aus . $v$ $G$
(dh wird aktualisiert, um der Scheitelpunkt ). $u\to v$ $v$ $u$

Der Spieler, der gezwungen ist, eine "Sackgasse" (dh einen Scheitelpunkt ohne ausgehende Kanten) auszuwählen, verliert.

In welchen Graphenfamilien ist die optimale Strategie in der Polynomzeit berechenbar?

Zum Beispiel ist es leicht zu erkennen, dass wir , wenn eine DAG ist, leicht die optimale Strategie für die Spieler berechnen können. $G$

graph-theory graph-algorithms gt.game-theory

— RB
quelle

Das Spiel ist als Generalized Geography bekannt und PSPACE-vollständig (auch auf planar gerichteten Graphen). Siehe Komplexität der Pfadbildung Spiele für einige Varianten (auch einige polynomielle Zeitvarianten)

— Marzio De Biasi

Kannst du genauer sein? Zum Beispiel können Sie an Marzios Link erkennen, dass eine begrenzte Baumbreite ausreicht.

— Domotorp

@domotorp: Ich denke, dass GG auf ungerichteten durchgezogenen Gittergraphen ein ungelöstes offenes Problem ist (vielleicht auch nicht untersucht). Ich werde ein wenig googeln, um zu sehen, ob es sich um ein neues Problem handelt. Während es im Fall von gerichteten durchgezogenen Gittergraphen einfach zu sein scheint, "Löcher" unter Verwendung der gerichteten Kanten zu simulieren, sollte es PSPACE-vollständig sein.

— Marzio De Biasi

Antworten:

Generalized Geography (GG) ist PSPACE-vollständig, selbst auf planar gerichteten zweigeteilten Graphen, aber wie in:

Hans L. Bodlaender, Komplexität pfadbildender Spiele , Theoretische Informatik, Band 110, Ausgabe 1, 15. März 1993, Seiten 215-245

GG (und einige andere PSPACE-vollständige Varianten) sind in Graphen mit begrenzter Baumbreite linear zeitlösbar.

SEITLICHER HINWEIS: Eine der Varianten von Generalized Geography, die sich kürzlich als PSPACE-vollständig erwiesen hat, ist Tron ( Light Cycles- Spiel): Bei einem ungerichteten Diagramm wählen zwei Spieler zwei verschiedene Startscheitelpunkte aus und wechseln sich dann ab, indem sie sich zu einem benachbarten bewegen Scheitelpunkt von ihrem jeweiligen vorherigen in jedem Schritt. Das Spiel endet, wenn sich beide Spieler nicht mehr bewegen können. Der Spieler, der mehr Eckpunkte durchquert hat, gewinnt (Bodlaender und Kloks vermuteten 1990, dass PSPACE vollständig ist).
Tillmann Miltzow, Tron, ein kombinatorisches Spiel über abstrakte Graphen (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B

Seltsamerweise wird dieselbe Matrix erhalten, wenn Spieler A einen beliebigen Startknoten auswählen kann.

Wie in den Kommentaren erwähnt, ist die Komplexität der Entscheidung, ob es eine Gewinnstrategie gibt, wenn GG auf soliden Gittergraphen (mit beliebigen Formen, aber ohne Löcher) gespielt wird , meiner Meinung nach nicht bekannt und es ist wahrscheinlich nicht so einfach, etwas zu beweisen es (in der Tat ist das - etwas verwandte - Problem der Entscheidung, ob ein Vollgittergraph einen Hamilton- Pfad hat, noch offen, obwohl die Entscheidung, ob ein Vollgittergraph einen Hamilton- Zyklus hat, polynomial lösbar ist).

Eine letzte triviale Anmerkung: GG ist polynomiell zeitlösbar, auch in vollständigen Graphen.

— Marzio De Biasi
quelle

Sind Sie sicher, dass der Hamilton-Zyklus in einem durchgezogenen Gittergraphen polynomiell lösbar ist? Wie ich mich erinnern kann, ist es nur unbekannt. Wenn dieses feste Gitter jedoch einige Strukturen aufweist (wie L-Form, T-Form, mxn, ...), ist es polynomiell lösbar, aber ich kann mich an kein Papier erinnern, das es in polynomialer Zeit löst im Allgemeinen durchgezogene Gittergraphen. Haben Sie eine Referenz?

— Saeed

@Saeed Es scheint, dass Umans und Lenhart das seit langem offene Problem gelöst haben, siehe Hamilton-Zyklen in soliden Gittergraphen . Vor einiger Zeit habe ich nach aktuellen / verwandten Ergebnissen über den Hamilton-Pfad in durchgezogenen Gittergraphen gesucht, aber nichts gefunden. (Ich denke, es gibt auch irgendwo eine verwandte Frage zur Theorie)

— Marzio De Biasi

Danke, das ist wirklich toll und es ist auch nicht sehr neu FOCS1997 , aber ich habe es noch nie gesehen!

— Saeed

Tolle Antwort @MarzioDeBiasi. Eigentlich bin ich auf dieses Problem in einer anderen Umgebung gestoßen, die als Gitterdiagramm modelliert werden kann, war aber auch neugierig auf seine Verallgemeinerung.

— RB

Ich habe eine halbe Stunde verbracht, konnte aber keine Referenzen für Undirected Generalized Geography finden. Ich bin sicher, es muss von jemandem gezeigt worden sein, dass es PSPACE-vollständig ist. Weißt du vielleicht davon?

— Domotorp

$1$ $c$ $G-c$ $0$ $c$ $1$

— Saeed
quelle