Einfacher Nachweis von Ω (n lg n) im ungünstigsten Fall für die Eindeutigkeit / Unterscheidbarkeit?

Es gibt mehrere Beweise für die loglineare Untergrenze für das Problem der Eindeutigkeit / Unterscheidbarkeit von Elementen (basierend auf algebraischen Berechnungsbäumen oder widersprüchlichen Argumenten), aber ich suche einen, der einfach genug ist, um in einem ersten Kurs in Algorithmenanalyse und -design verwendet zu werden. Der gleiche „Schwierigkeitsgrad“ wie die untere Grenze für das Sortieren wäre in Ordnung. Auch jeder Ansatz (zB kombinatorisch oder informationstheoretisch) wäre in Ordnung. Irgendwelche Vorschläge?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
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Welches Berechnungsmodell haben Sie im Sinn? Wenn es sich bei den Elementen um kleine Ganzzahlen handelt, kann durch Sortieren

werden. Wenn die Gegenstände nur auf Ungleichheit verglichen werden können, scheint es eine untere Schranke von

. Ist es richtig, aus der gesuchten Antwort zu schließen, dass die Elemente linear geordnet sind und für <, =,>, aber keine anderen Operationen verglichen werden können?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

Warrens Frage in seinem Kommentar ist ein guter Anruf. In diesem Zusammenhang ist der Kommentar von David Eppstein zu einer anderen Frage aufschlussreich, in dem er die Bedeutung der Spezifizierung des Rechenmodells betont, wenn wir über diese Art von Untergrenzen sprechen. Ich bin mir übrigens nicht sicher, ob es Sinn macht, „algebraische Rechenbäume“ (ein Rechenmodell) und „konträre Argumente“ (eine Beweismethode) nebeneinander aufzulisten.

— Tsuyoshi Ito

Sehr gute Punkte. Meine Anwendung hier ist die Erklärung von Härteprüfungen durch Reduktion - zum Beispiel durch Reduktion von Eindeutigkeit zu Sortierung (und einigen anderen Problemen). Daher gehe ich von den gleichen grundlegenden Vorgängen aus wie bei der Vergleichssortierung (damit die Reduzierung funktioniert). (Oder, denke ich, alles, was dem RAM mit reellen Zahlen entspricht.)

— Magnus Lie Hetland

Antworten:

Jedes Zertifikat (Nachweis) der Unterscheidbarkeit, das nur <, = und> verwendet, muss Vergleiche zwischen jedem Paar benachbarter Elemente in der sortierten Reihenfolge enthalten. Daher liefert jedes Unterscheidungszertifikat genug Informationen zum Sortieren, und daher gilt die standardmäßige informationstheoretische Untergrenze für das Sortieren auch für jeden deterministischen Unterscheidungsalgorithmus.

— Warren Schudy
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Dieses Argument funktioniert für Vergleichsbäume, aber nicht (direkt) für allgemeinere Entscheidungsbaummodelle.

— Jeffs

JeffE: Dem stimme ich zu. Ich bezweifle, dass es für Magnus 'Zwecke einen hinreichend einfachen Beweis gibt, der in einem allgemeineren Modell funktioniert.

— Warren Schudy

Richtig. Für meine Anwendung sind Vergleichsbäume in Ordnung. Ich denke, das entspricht ziemlich genau dem, wonach ich suche. Meine Anwendung erklärte die Idee der Härteprüfungen, einschließlich der Reduzierung auf Sortierung, damit die Tatsache, dass die Sortierungsprüfung hier verwendet wird, die ganze Sache irgendwie kurzschließt. Das hätte ich wohl ausdrücklich sagen sollen :-)

— Magnus Lie Hetland

Ich bin nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstehe, aber der Beweis von Dobkin und Lipton [DL79], dass das Eindeutigkeitsproblem für n Zahlen Ω ( n log n ) -Vergleiche im linearen Entscheidungsbaummodell erfordert, ist viel einfacher als das stärkere Ergebnis in das algebraische Rechenbaummodell von Ben-Or [Ben83] (nicht überraschend).

Verweise

[Ben83] Michael Ben-Or. Untergrenzen für algebraische Berechnungsbäume. In Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC 1983) , S. 80–86, April 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin und Richard J. Lipton. Über die Komplexität von Berechnungen unter verschiedenen Mengen von Grundelementen. Journal of Computer and System Sciences , 18 (1): 86–91, Februar 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
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Kurz: Betrachten Sie den Raum R ^ n aller möglichen Eingaben. Der Satz positiver Eingänge hat n! verbundene Komponenten, eine für jede Permutation. Andererseits sind die Teilmengeneingaben, die jedes Blatt in einem linearen Entscheidungsbaum erreichen können, konvex und daher verbunden. Somit hat jeder lineare Entscheidungsbaum, der die Eindeutigkeit bestimmt, mindestens n! Blätter.

— Jeffs

Für den Sonderfall der Ganzzahleingaben ist ein subtileres Argument erforderlich. Siehe Lubiw und Rács, "Eine Untergrenze für das Problem der Ganzzahlelementunterscheidbarkeit", Information and Computation 1991; oder Yao, "Lower bounds for algebraic computation trees with integer

— input

@ JeffE: Deine kurze Erklärung ist wunderbar. Vielen Dank auch für den Hinweis auf interessante Ergebnisse. Mir ist nie aufgefallen, dass die Untergrenze von Ben-Or nicht sofort für den Fall gilt, dass die Eingabe auf ganze Zahlen beschränkt ist!

— Tsuyoshi Ito

Jeff: Diese sollten in einer Antwort sein!

— Suresh Venkat

Vielen Dank an Tsuyoshi Ito und JeffE. Ich habe den R ^ n-Raumbeweis zuvor gesehen (in einer Einstellung, in der gegnerische Argumente verwendet werden). Als ich es zum ersten Mal las, fand ich es etwas zu komplex für meine Zielgruppe, aber ich denke, vielleicht ist es das nicht. Vielen Dank. (Ich habe auch die Abhandlung über den Integer-Fall gesehen - ich glaube, ich werde in meinem Vortrag nicht darauf

— Magnus Lie Hetland