Homotopietypentheorie und Gödels Unvollständigkeitssätze

Die Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel legen die "inhärenten Grenzen aller außer den trivialsten axiomatischen Systemen fest, die arithmetisch arbeiten können".

Die Homotopietypentheorie bietet eine alternative Grundlage für die Mathematik, eine einwertige Grundlage, die auf höheren induktiven Typen und dem Univalenzaxiom basiert . Das HoTT-Buch erklärt, dass Typen höhere Gruppoide sind, Funktionen Funktoren sind, Typfamilien Fibrationen sind usw.

Der kürzlich erschienene Artikel "Formal verifizierte Mathematik" in CACM von Jeremy Avigad und John Harrison erörtert HoTT in Bezug auf formal verifizierte Mathematik und automatische Theoremprüfung.

Gilt Gödels Unvollständigkeitssatz für HoTT?

Und wenn doch,

Wird die Homotopietypentheorie durch Gödels Unvollständigkeitssatz (im Kontext der formal verifizierten Mathematik) beeinträchtigt?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— Falkenauge
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Interessante Frage. Gab es etwas, das Sie gelesen haben und das Ihnen nahe legte, dass HTT nicht unter der Unvollständigkeit von Godel leidet? (Beachten Sie, dass frühere Versuche von Stiftungen - wie die Mengenlehre - ebenfalls unter der Unvollständigkeit von Godel leiden ...)

— Joshua Grochow

HoTT "leidet" natürlich an der Unvollständigkeit von Gödel, da es eine rechnerisch aufzählbare Sprache und Inferenzregeln hat und wir darin die Arithmetik formalisieren können. Die Autoren des HoTT-Buches waren sich seiner Unvollständigkeit durchaus bewusst. (Tatsächlich ist dies ziemlich offensichtlich, insbesondere wenn die Hälfte der Autoren Logiker sind).

Aber "beeinträchtigt" Unvollständigkeit HoTT? Nicht mehr als jedes andere formale System, und ich denke, das ganze Problem ist ein bisschen falsch. Lassen Sie mich eine Analogie versuchen. Angenommen, Sie haben ein Auto, das Sie nicht überall auf dem Planeten hinbringen kann. Zum Beispiel kann es nicht senkrecht an einer Wand hochklettern. Ist das Auto "beeinträchtigt"? Natürlich kann es Sie nicht an die Spitze des Empire State Building bringen. Ist das Auto nutzlos? Weit davon entfernt, kann es Sie zu viele andere interessante Orte nehmen. Ganz zu schweigen davon, dass das Empire State Building über Aufzüge verfügt.

— Andrej Bauer
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Ich glaube nicht, dass die Autoanalogie ganz funktioniert, da die Frage nicht so sehr "Ist das Auto nutzlos?" Ist. aber "Kann das Auto als Fundamenttransport dienen?" In jedem Fall ist der grundlegende Punkt jedoch, dass jedes System, das eine Grundlage der Mathematik bilden wird, notwendigerweise unvollständig ist.

— David Richerby

Mein Punkt war, dass die Leute nicht erwarten, dass es eine perfekte Transportmaschine gibt, und sie machen sich auch keine Sorgen darüber, dass es keine gibt, aber irgendwie machen sie sich Sorgen darüber, dass keine (vernünftige) Grundlage der Mathematik vollständig ist.

— Andrej Bauer