Enge Beispiele zur Annäherung an das Problem der Rückkopplungsscheitelpunktmenge

Es gibt mehrere 2-Approximationsalgorithmen für das UNWEIGHTED Feedback Vertex Set Problem (FVS), die in [4] zusammengefasst sind. Beachten Sie, dass die Reduzierung von der Scheitelpunktabdeckung auf FVS annäherungserhaltend ist. Unter der Annahme einer einzigartigen Spielvermutung können wir keine besseren Algorithmen erwarten. Die Frage ist:

Gibt es einen ungewichteten Graphen, in dem ein Teil des Algorithmus tatsächlich das Verhältnis 2 erreicht?

[1] enthält eine so enge Instanz für gewichtetes FVS.

1. Vineet Bafna und Piotr Berman und Toshihiro Fujito, http://doi.org/10.1137/S0895480196305124 ;
2. Ann Becker und Dan Geiger, http://doi.org/10.1016/0004-3702(95)00004-6 ;
3. Toshihiro Fujito, http://doi.org/10.1016/0020-0190(96)00094-4 ;
4. Fabián A. Chudak, Michel X. Goemans, Dorit S. Hochbaum, David P. Williamson, http://doi.org/10.1016/S0167-6377(98)00021-2 .

Ich denke, Sie können den klassischen Algorithmus für das lokale Verhältnis von Bafna et al. Geben Sie eine -Näherung für die folgende Familie von Graphen an:$2-o(1)$

Nehmen Sie als K n , n (den vollständigen Bipertitgraphen mit n Eckpunkten auf jeder Seite) und löschen Sie dann eine einzelne Kante. Das Folgende zeigt, dass der Algorithmus möglicherweise alle "blauen" Eckpunkte ( 2 n - 4 in der Anzahl) als FVS-Näherung ausgibt , während es für G n eine viel kleinere FVS gibt .$G_n$$K_{n,n}$$n$$2n-4$$G_n$

(Beachten Sie, dass zwischen den blaugrünen Eckpunkten keine Kante vorhanden ist.)

Das optimale FVS enthält Scheitelpunkte (nehmen Sie alle Scheitelpunkte rechts mit Ausnahme des oberen Scheitelpunkts).$n-1$

Jetzt gibt es keine halb-disjunkten Zyklen, und die Eckpunkte sind wie folgt:

1. $n$
2. $n-1$

$F$

$F$

$F$$FVS$$2n-4$

$\frac{2n-4}{n-1}=2-o(1)$