Kompakte Darstellung des Lösungssatzes einer SAT-Instanz

Diese Frage ist mir in den Sinn gekommen, nachdem ich die Beiträge von András Salamon und Colin McQuillan zu meiner vorherigen Frage gelesen hatte . Zählen von Lösungen für monotone 2CNF-Formeln .

EDIT 30 ^th März 2011
hinzugefügt Frage n ° 2.

EDIT 29 ^th Oktober 2010
Frage nach András Vorschlag umformuliert es durch den Begriff der zu formalisieren schöner Darstellung eines Lösungsmenge (ich habe seine Vorstellung ein wenig modifiziert).

Sei eine generische CNF-Formel mit Variablen. Sei seine Lösungsmenge. Klar,kann in exponentiell sein . Sei $F$ $n$ $S$ $|S|$ $n$ $R$ eine Darstellung von . soll genau dann nett sein, wenn alle folgenden Tatsachen zutreffen: $S$ $R$

$R$ hat eine Polynomgröße in . $n$
$R$ können die Lösungen in mit Polynomverzögerung aufgelistet werden . $S$
$R$ kannin Polynomzeit (dh ohne alle Lösungen aufzuzählen). $|S|$

Es wäre großartig, wenn es möglich wäre, in Polynomzeit ein solches für jede Formel zu erstellen . $R$

Fragen:

Hat jemals jemand bewiesen, dass es eine Familie von Formeln gibt, für die eine so schöne Darstellung nicht existieren kann?

Hat jemand die Beziehung zwischen der Darstellung von und den von gezeigten Symmetrien untersucht ? Intuitiv sollten Symmetrien helfen, kompakt darzustellen, da sie die explizite Darstellung einer Lösungsuntermenge vermeiden, wenn tatsächlich auf nur eine Lösung (dh von jedem Sie jede andere wiederherstellen) durch Anwenden einer geeigneten Symmetrie ist somit jedes selbst repräsentativ für das gesamte ) $S$ $F$ $S$ $S' \subset S$ $S'$ $s_i \in S'$ $s_j \in S'$ $s_i \in S'$ $S'$

— Giorgio Camerani
quelle

Ich denke, Sie müssen Ihre Frage ein wenig einschränken. Wie bereits erwähnt, die Formel ist selbst ein Polynom große Darstellung von . Dies hilft aber offensichtlich nicht für die Motivation, die sich aus dem vorherigen Problem ergibt. Vielleicht möchten Sie eine Grenze (Polynom?) Für die Komplexität der Reproduktion von (oder vielleicht ein einzelnes Element von oder die Berechnung von ) aus der polynomgroßen Darstellung ...

F

$F$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

| S |

$|S|$

— Joshua Grochow

@ Joshua: Du hast recht, danke. Ich habe die Frage zur Klärung bereichert. Bitte lassen Sie mich wissen, ob es jetzt in Ordnung ist.

— Giorgio Camerani

Übrigens ist eine Möglichkeit, die Lösungsmenge darzustellen, ein "UND / ODER-Suchbaum". Jede Instanz ist ein Blatt des Baums, und das Zählen kann durchgeführt werden, ohne alle Lösungen aufzulisten.

— Jaroslaw Bulatow

@ Jaroslaw: Interessant ... könnten Sie bitte weiter ausführen?

— Giorgio Camerani

Antworten:

Wie bereits erwähnt (Revision 3), hat die Frage eine einfache Antwort: Nein.

Der Grund ist, dass selbst für die stark eingeschränkte Klasse von Darstellungen, die durch Boolesche Schaltungen mit UND-, ODER- und NICHT-Gattern gegeben sind, keine nichttrivialen Untergrenzen bekannt sind. (Natürlich stellt eine Schaltung, die , auch implizit , und es ist einfach, die Lösungen durch Ändern der Eingänge in die Schaltung aufzulisten.) $F$ $S$

Für noch eingeschränktere Darstellungen wie monotone Schaltungen oder Schaltkreise mit konstanter Tiefe sind exponentielle Untergrenzen bekannt. Es gibt auch exponentielle Untergrenzen für die Darstellung von Formeln in CNF- oder DNF-Form, obwohl diese als Sonderfälle von Schaltkreisen mit konstanter Tiefe angesehen werden können. Schließlich können BDD-Darstellungen als kompakte Formen von DNF angesehen werden, es gibt jedoch Formeln, für die der BDD für jede variable Reihenfolge eine exponentielle Größe benötigt.

Um Ihre Frage präziser zu gestalten, betrachten Sie bitte die Antwort von @ Joshua im Detail und klären Sie, was Sie unter "trivial, um jede einzelne Lösung aufzulisten" verstehen.

$B$ $B$

Gibt es eine Familie von Formeln und eine schöne Darstellung mit Polynomgröße, während die BDDs eine Superpolynomgröße haben?

Erfasst dies die Essenz dessen, was Sie fragen?

— András Salamon
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@ András: Ich habe einen Abschnitt zur Klärung hinzugefügt.

— Giorgio Camerani

@ András: Ich entschuldige mich, wenn meine Frage nicht präzise genug ist. Ihr Satz "Gibt es eine kompaktere Darstellung von DNF-Formeln als BDDs?" fängt die Essenz dessen ein, was ich frage. Eine derart kompaktere Darstellung müsste für jede Formel möglich sein (auch für solche mit einer Superpolynomzahl von Lösungen).

— Giorgio Camerani

@ András: Hallo, ich habe ein bisschen mehr darüber nachgedacht. Eine bessere Erfassung der Essenz dessen, was ich frage, ist die Frage "Gibt es eine schöne Darstellung, die für jede Formel eine Polynomgröße hat?" . Eine solche Darstellung muss die "beste aller Zeiten" sein, unabhängig davon, wie sich BDDs im Vergleich dazu verhalten. Ihr Vorschlag einer Polynomverzögerung passt perfekt zu meiner Idee.

— Giorgio Camerani

@Walter: Es könnte sich lohnen, die Frage entsprechend dieser Neuformulierung zu bearbeiten oder eine neue Frage zu stellen.

— András Salamon

@ András: Ich habe die Frage umformuliert. Die Definition der schönen Darstellung wurde ein wenig geändert (ich habe angenommen, dass es sich eher um einen Begriff Ihrer Erfindung als um einen in der Literatur gut etablierten Begriff handelt, nicht wahr?).

— Giorgio Camerani

[Diese Antwort war eine Antwort auf die Version vor Revision 6 vom 29. Oktober 2010.]

$R(\varphi)$ $S(\varphi)$ $\varphi$ $R$ $|R(\varphi)| \leq poly(n)$ $\varphi$ $n$ $A$ $A(R(\varphi)) = S(\varphi)$ $A$ $R(\varphi))$ $poly(n, |S|)$

$S$ $R$ $A$ $|S| \leq poly(n)$ $R(\varphi) = (0, S)$ $|S| \geq 2^{\Omega(n)}$ $R(\varphi) = (1, \varphi)$ $A(0, S)$ $S$ $A(1, \varphi)$ $S$ $\varphi$ $|S| = 2^{\Omega(n)}$ $O(|S|)$

$R$ $A$ $p$ $S$ $poly(n)$ $S$ $p$ $|S|$ $p$ $A$ $|S|$

$R$ $poly(n, |\varphi|)$ $P \neq PromiseUP$ $\varphi$ $A(R(\varphi))$ $\varphi$ $poly(n)$

— Joshua Grochow
quelle

R

$R$

A

$A$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1,\varphi)$

R

$R$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

S

$S$

n

$n$

O (| S |)

$O(|S|)$

R (φ) = (1, φ)

$R(\varphi) = (1, \varphi)$

φ

$\varphi$