Was wären die Konsequenzen von PH = PSPACE?

In einer kürzlich gestellten Frage (siehe Konsequenzen von NP = PSPACE ) wurden die "schlimmen" Konsequenzen von erfragt . Die Antworten Liste nicht wenige Zusammenbruch Folgen, einschließlich und andere, viel von Gründen zu glauben , . $NP=PSPACE$ $NP=coNP$ $NP\neq PSPACE$

Was wären die Folgen des etwas weniger dramatischen Zusammenbruchs ? $PH=PSPACE$

cc.complexity-theory complexity-classes conditional-results

— Andras Farago
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Bin ich die einzige Person, die heutzutage gelangweilt von der Welle der "Folgen von

" -Fragen ist? Zugegeben, sie können zu interessanten Antworten führen, aber die Frage sollte zumindest unerwartete , überraschende usw. Konsequenzen haben.

A = B

$A=B$

— Sylvain

@ Sylvain: Einige davon sind tatsächlich alte Fragen, die von den Toten auferstanden sind, weil ich ihnen das Tag "conditional-results" hinzugefügt habe. Sie können dieses Tag dann ignorieren, um solche Fragen für Sie weniger sichtbar zu machen.

— András Salamon

Antworten:

zusammenbricht. A -komplette Problem ingewissen Maß an sein muss , sagendass es in ist . Da es sich -komplette -komplette (durch Annahme), . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_k P}$ $\mathsf{PSPACE}$ $=\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{\Sigma_k P}$

— Joshua Grochow
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Ist

nicht für sich selbst komplementär und niedrig geschlossen? Das ist

So würde das nicht bedeuten , dass

und

P S P A C E

${\bf PSPACE}$

P S P A C E

${\bf PSPACE}$

{P S P A C E}^{P S P A C E}

${\bf PSPACE}^{\bf PSPACE}$

N P = C o N P

${\bf NP} = {\bf CoNP}$

N P = P S P A C E

${\bf NP} ={\bf PSPACE}$

— Tayfun Pay

@TayfunPay:

$\:$ Ich sehe nicht ein, wie eine solche Implikation gezeigt werden könnte.

$\;\;\;\;$

@TayfunPay: Man beachte , daß

- wenn sie als das einzige Klasse definiert durch alternierende Poly Zeit TMs als mit

Wechsel - unter Ergänzung und selbst niedrig ist auch (noch geschlossen ist es gleich , ohne unter der Annahme

P H

$\mathsf{PH}$

O (1)

$O(1)$

P S P A C E

$\mathsf{PSPACE}$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow nicht die Existenz eines PH-Complete bedeuten , dass

zusammenbricht? Ich erinnere mich an so etwas im alten Papadimitriou-Buch. Ich werde es heute Abend überprüfen.

P H

${\bf PH}$

— Tayfun Pay

@TayfunPay: Ja, ich verwende den gleichen Beweis wie in meiner Antwort (aber das kann und kann anscheinend nicht sagen, auf welche Ebene es unter dieser Annahme zusammenbricht).

— Joshua Grochow

Es würde immer noch bedeutende Trennungen von Komplexitätsklassen bedeuten. Zum Beispiel würde folgen. (Wenn dann ) $\mathrm{LOGSPACE \neq NP}$ $\mathrm{LOGSPACE = NP}$ $\mathrm{LOGSPACE = PH}$

Auch würde bedeuten , von Karp-Lipton. Daraus folgt, dass genau dann Polysize-Schaltungen hat, wenn tut. Und natürlich hätten wir genau dann , wenn . In jedem Fall sind die Folgen der Lösung von $\mathrm{NP \subseteq P/poly}$ $\mathrm{PSPACE = \Sigma_2 P}$ $\mathrm{NP}$ $\mathrm{PSPACE}$ $\mathrm{P = NP}$ $\mathrm{P = PSPACE}$ $\mathrm{NP}$ Probleme effizient würde deutlich erhöht.

— Ryan Williams
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In der Tat folgt sogar NL ≠ NP , weil

N P^{N L \cap c o - N L} = N P

$NP^{NL\cap co-NL}=NP$

— Domotorp

$PH=PSPACE$ $NP=PSPACE$

$NP\neq PH$ $NP=PH$ $PH=PSPACE$ $NP=PSPACE$ $NP\neq PH$ (was wiederum äquivalent ist zu $NP\neq coNP$ ).

— Andras Farago
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