Folgen von NP = PSPACE

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Was wären die schlimmen Folgen von NP = PSPACE? Ich bin überrascht, dass ich dazu nichts gefunden habe, da diese Klassen zu den berühmtesten gehören.

Hätte dies insbesondere Konsequenzen für die unteren Schichten?

cc.complexity-theory complexity-classes conditional-results

— Denis
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Eine unmittelbare Konsequenz oder vielmehr eine Neuformulierung der Identität: Der Prüfer müsste dem Prüfer niemals eine Nachricht zurückgeben!

— Alessandro Cosentino

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Wenn , würde dies bedeuten: $\mathsf{NP} = \mathsf{PSPACE}$

$\mathsf{P^{\#P}} = \mathsf{NP}$
Das heißt, das Zählen der Lösungen für ein Problem in wäre vielfach reduzierbar, um eine einzige Lösung zu finden. $\mathsf{NP}$
$\mathsf{PP} = \mathsf{NP}$
Das heißt, polynomzeit-randomisierte Algorithmen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von beliebig nahe 1/2 sind polynomzeitreduzierbar auf polynomzeit-randomisierte Algorithmen mit einseitigem Fehler, bei denen JA-Instanzen akzeptiert werden mit beliebig geringer Wahrscheinlichkeit;
$\mathsf{MA} = \mathsf{NP}$
Das heißt, für jedes Problem, das in der Polynomzeit überprüfbar ist, liefert die Randomisierung bestenfalls eine Beschleunigung der Polynomzeit (dies ist jedoch nur eine Folge der Kollapsierung der Polynomzeithierarchie).
$\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{NP}$
Das heißt, jedes Problem, das von einem Quantencomputer gelöst werden kann, hat leicht Zertifikate für seine Antworten verifiziert. Dies wäre ein wichtiges positives Ergebnis in der Philosophie der Quantenmechanik und wahrscheinlich hilfreich für die Bemühungen, Quantencomputer zu konstruieren (um zu überprüfen, ob sie das tun, was sie tun sollen).

All dies liegt an den Containments der Klassen auf der linken Seite in (obwohl wir auch ). $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{BQP \subseteq PP}$

— Niel de Beaudrap
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Können Sie auf eine Referenz verweisen, bei der impliziert, dass . Vielen Dank

N P = P S P A C E

${\bf NP} = {\bf PSPACE}$

B Q P \subseteq N P

${\bf BQP} \subseteq {\bf NP}$

— Tayfun Pay

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@TayfunPay Sie möchten im Grunde eine Referenz für . Die Referenz dafür ist BV97 . Sie können jedoch auch nachweisen, dass . In der folgenden Vorlesung finden Sie Informationen dazu: scottaaronson.com/democritus/lec10.html

B Q P \subseteq P S P A C E

$\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{PSPACE}$

B Q P \subseteq P P

$\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{PP}$

— Alessandro Cosentino

2

@AlessandroCosentino Ja, ich wusste, dass und dass . Ich glaube, ich musste nur darauf hingewiesen werden, um mein Gedächtnis zu wackeln! Vielen Dank! :)

B P P \subseteq B Q P \subseteq P P \subseteq P S P A C E

${\bf BPP} \subseteq {\bf BQP} \subseteq {\bf PP} \subseteq {\bf PSPACE}$

N P \subseteq P P \subseteq P S P A C E

${\bf NP} \subseteq {\bf PP} \subseteq {\bf PSPACE}$

— Tayfun Pay

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Ein Punkt, der implizit, aber noch nicht explizit erwähnt wurde, ist, dass wir . Obwohl dies gleichbedeutend ist mit zu , folgt dies direkt aus der Tatsache, dass unter complement geschlossen ist, was trivial zu beweisen ist. $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{PSPACE}$

Ich denke, ist es wert, allein darauf hinzuweisen, da es eine große Anzahl überraschender Konsequenzen gibt: Es gibt kurze Beweise, wenn ein Graph nicht dreifarbig ist, * nicht-* Hamiltonianer Wenn zwei Graphen * nicht * isomorph sind, ... und (in gewissem Sinne allgemeiner) gibt es ein Cook-Reckhow-Beweissystem, in dem jede Satz-Tautologie einen polynomgroßen Beweis hat. $\mathsf{NP} = \mathsf{coNP}$

— Joshua Grochow
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If ${\bf NP} = {\bf PSPACE}$

1) Die Polynom-Hierarchie würde zu . ${\bf NP }$

2) Wir werden jetzt da wir wissen, dass ${\bf NP } \not ={\bf NL}$ ${\bf PSPACE} \not = {\bf NL}$

---AKTUALISIEREN---

3) Es ist bekannt, dass , wobei es sich um die logarithmisch raumbegrenzten Versionen von , bzw. . Dann könnte per Definition keine dieser Komplexitätsklassen gleich unter der Annahme, dass . ${\bf NL} \subseteq {\bf C_=L} \subseteq {\bf PL}$ ${\bf NP}$ ${\bf C_=P}$ ${\bf PP}$ ${\bf NP}$ ${\bf NP} = {\bf PSPACE}$

— Tayfun Pay
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1

Dies sind triviale Konsequenzen nach PH PSPACE und NL PSPACE. Ich hatte mir überraschendere Konsequenzen erhofft, zum Beispiel etwas zwischen NL und P oder eine neue Beziehung zwischen zwei Klassen "streng" unter NP.

\subseteq

$\subseteq$

\neq

$\neq$

— Denis

1

Beachten Sie, dass wenn Sie NL als die Klasse von Sprachen betrachten, deren Lösungen im Protokollbereich verifiziert werden können, selbst wenn jedes Symbol der Lösung höchstens einmal gelesen wird (obwohl logarithmisch viele gleichzeitig auf dem Arbeitsband gespeichert werden können). Die Tatsache, dass es sich von NP unterscheidet, zeigt an, dass es eine Klasse L 'gibt, die ein Verwandter von L ist , bei der es sich um Turing-Maschinen mit zwei Eingabebändern handelt, von denen jedoch eines einmal gelesen und das andere nicht gelesen wird und die sich von P (unterscheidet. Wo, weil man auf dem Arbeitsband einen Polynomraum hat, sind Einschränkungen bei der einmaligen Leseeingabe egal.

— Niel de Beaudrap

1

@dkuper Du hättest auch , wobei die durch den logarithmischen Raum begrenzte Version von , sowie , wobei die durch den logarithmischen Raum begrenzte Version von .

P L \neq N P

${\bf PL} \not = {\bf NP}$

P L

${\bf PL}$

P P

${\bf PP}$

# L \neq N P

${\bf \#L} \not = {\bf NP}$

# L

${\bf \#L}$

# P

${\bf \#P}$

— Tayfun Pay

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@ dkuper siehe math.ucdavis.edu/~greg/zoology/diagram.xml

— Tayfun Pay

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@TayfunPay: (1) Warum bearbeitest du deine Antwort nicht, um die Beziehungen aus deinem Kommentar einzubeziehen? (2) Wie halten sie?

— Niel de Beaudrap

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Zusätzlich zu den Ergebnissen in allen anderen Antworten darauf gibt es ein ein Interactive Proof - Systeme beteiligt ( ), dass die Verallgemeinerung ist wo Verifier und Prover tauschen Nachrichten aus, um die Sprache zu erkennen. ${\bf IP}$ ${\bf NP}$

Es ist bekannt, dass , wenn also , bedeutet dies, dass nur eine Nachricht ausreicht! Für mich ist das beeindruckendere an diesem Ergebnis, dass der Prüfer den Prüfer nicht herausfordern müsste und der allerersten von ihr gesendeten Nachricht vertrauen kann. ${\bf IP = PSPACE}$ ${\bf NP = PSPACE}$

— Alex Grilo
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Es könnte aber trotzdem von der Implementierung abhängen? Das heißt, es würde immer noch interaktive Prüfer geben, die mehr Austausch benötigen, nur gibt es andere mit nur einer Nachricht für dieselbe Sprache.

— Denis

Nun, es würde bedeuten, dass eine Nachricht ausreicht. Wenn ich Ihre Frage richtig verstanden habe, ist es bei Problemen in P dasselbe: Obwohl es für sie polynomielle Zeitalgorithmen gibt, kann man immer noch einen exponentiellen Zeitalgorithmus erstellen.

— Alex Grilo

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@ AlexGrilo: daher mein Kommentar unter der Frage :)

— Alessandro Cosentino

@AlessandroCosentino Entschuldigung, ich habe es vorher nicht gesehen

— Alex Grilo