Wie schlecht kann die gierige Färbung (Listenfarbe) für die c-chromatische Anzahl von Graphen sein?

Die c-chromatische Zahl wird im Papier definiert . Aufteilung von Graphen in cographs . Es wird nach der Mindestanzahl von Farben gefragt, die zum Färben von Scheitelpunkten verwendet werden, sodass jede Farbklasse eine Cograph ist . Cograph ist ein P4-freier Graph, dh es gibt keinen induzierten Pfad der Länge 3.

Das Papier bezeichnet die c-chromatische Zahl als und beweist, dass in Bemerkung 12 auf Seite 4 verwendet wird. Der Beweis kann verwendet werden, um Konvertieren Sie jede Farbe in eine Farbe von höchstens Farben in Polynomzeit.$c(G)$$c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$ $\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

In der Untersuchung der klassischen Graphfärbung, dh der chromatischen Zahl , wurde die gierige Färbung diskutiert. Die Leistung der gierigen Färbung wird durch die Reihenfolge der Eckpunkte bestimmt. Im schlimmsten Fall benötigt ein Graph Farben, während . Dies impliziert, dass das Approximationsverhältnis der gierigen Färbung willkürlich schlecht ist.$\chi(G)$$\frac{|V|}{2}$$\chi(G)=2$

In ähnlicher Weise können wir, wenn wir Diagramme in Diagramme einfärben, die gierige Färbung verwenden. Beschriften Sie bei einer bestimmten Reihenfolge der Scheitelpunkte jeden Scheitelpunkt mit der kleinsten Farbe (vorausgesetzt, die Farben sind mit 1, 2, 3, ... gekennzeichnet), sodass jede Farbklasse eine Cograph ist.

Meine Frage ist:

1. Was ist das schlimmste Verhalten von gierigem Färben auf Cograph-Färbung?
2. Ist es möglich, dass die gierige Färbung mehr als Farben benötigt?$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

gute Frage. Betrachten Sie die folgende Konstruktion: Erstellen Sie k P3s, die als 1-2-3 4-5-6 7-8-9 usw. nummeriert / bestellt sind. Jetzt erhalten 1-2-3 alle Farbe R nach dem gierigen Schema. Machen Sie 4,5,6 alle neben 3. Dann erhalten 4,5,6 jeweils Farbe B. Nun machen Sie Eckpunkte 7,8,9 neben 3 und bis 6, dann können sie nicht die Farben R oder B bekommen. Sie bekommen Y. Y.

Fahren Sie mit 10-11-12 fort, wobei 10,11,12 neben 3,6,9 liegt. Sie können nicht mit RBY gefärbt werden, daher erhalten sie G.

Diese 3k-Eckpunkte benötigen k = n / 3 Farben. Beachten Sie jedoch, dass c (G) 2 ist, da die Menge {3,6,9,12 usw.} eine Clique induziert und der Rest des Graphen eine perfekte Übereinstimmung induziert. Dies zeigt also, dass gieriges Färben auch für das Färben von Cographen willkürlich schlecht sein kann.

Wir können diese Konstruktion modifizieren, um auch den maximalen Grad zu verringern ... 4,5,6 sind neben 3, aber machen 7,8,9 immer noch neben 6, aber jetzt neben 1 statt 3. Dann machen Sie 10, 11,12 neben 9, 4 (anstelle von 6) und 3. Und für zukünftige Tripletts wechseln Sie immer wieder ab, mit welchem ​​Endscheitelpunkt eines früheren P3 sie verbunden sind. Das resultierende Diagramm ist wahrscheinlich nicht mehr in 2 Cographs aufteilbar, aber beachten Sie, dass 2,5,8,11 usw. eine unabhängige Menge bilden und der Rest wahrscheinlich mit 2 weiteren Cographs bedeckt werden kann, aber ich bin mir nicht ganz sicher. Aber ich denke nicht, dass dies wichtig ist ... was hier wichtig ist, ist, dass der maximale Grad niedrig genug ist, dass die gierige Färbung mehr als Farben verwendet (um Ihre zweite Frage zu beantworten. )$\frac{1+\Delta}{2}$

Eine weitere interessante Frage wäre, ob eine "intelligentere" gierige Färbung (wie LexBFS) eine Annäherung mit konstantem Verhältnis erzeugen würde.