Wie komplex ist dieses Pfadproblem?

Instanz: Ein ungerichteter Graph $G$ mit zwei getrennten Eckpunkten $s\neq t$ und einer ganzen Zahl $k\geq 2$ .

Frage: Gibt es in G einen $s-t$ Pfad , so dass der Pfad höchstens k Eckpunkte berührt ? (Ein Scheitelpunkt wird vom Pfad berührt, wenn sich der Scheitelpunkt entweder auf dem Pfad befindet oder einen Nachbarn auf dem Pfad hat.)$G$$k$

Dieses Problem wurde untersucht in:

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, David Peleg, Merav Parter: Abgeschiedene Konnektivitätsprobleme. ESA 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Sie nannten es einsames Pfadproblem. Es ist in der Tat NP-schwer und die Optimierungsversion hat keine Konstantfaktor-Approximation.

Die Motivation der Autoren ist eine Einstellung, bei der die Informationen über den Pfad gesendet werden und nur die Nachbarn und die Knoten im Pfad sie sehen können. Ziel ist es, die Exposition zu minimieren.

Bearbeiten: In der Antwort von user20655 finden Sie eine Referenz zu einem Artikel, der bereits die Härte dieses Problems belegt. Ich lasse meinen ursprünglichen Beitrag in, falls jemand diesen alternativen Beweis sehen möchte.

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Stellen Sie sich eine Instanz von MIN-SAT vor, bei der es sich um ein NP-hartes Problem handelt , das aus den Variablen und Klauseln C = { c 1 , c 2 , c $X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ . Wir reduzieren dies auf Ihr Pfadproblem.$C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

Wir werden zwei Eckpunkte für jedes (einen für die negierte Form und einen für die nicht-negierte) und einen Eckpunkt für jedes c i haben . Ferner sei m = 2 n + | C | haben wir m Eckpunkte p 1 , p 2 , ⋯ , p m zum Auffüllen.$x_i$$c_i$$m = 2n+|C|$$m$$p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

Grob gesagt, werden wir einen Graphen Konstrukt , bei dem die optimale Lösung , die einen Weg von wird aufzubauen zu t unter Verwendung der x i s und ¯ x i S als Zwischenknoten. Die Kosten für diesen Weg werden genau das seine c j s , dass der Weg , den wir gewählt haben würde genügen , wenn wir es in eine Zuordnung drehen sind. Die P i s sind nur dazu da, um zu verhindern, dass die optimale Lösung schummelt, indem sie durch eines der C j s kürzt .$s$$t$$x_i$$\bar{x_i}$$c_j$$p_i$$c_j$

Connect auf jede Klausel c j , in der x i erscheinen und ¯ x i auf jede Klausel c j , in der ¯ x i erscheinen. Um eine Zuweisung der Variablen Kraft, stellen wir eine Diamantleiterartigen Struktur, wobei x i und ¯ x i sind beide mit jeweils x i + 1 und ¯ x i + 1 . s ist mit beiden verbunden ist x 1 und $x_i$$c_j$$x_i$$\overline{x_i}$$c_j$$\overline{x_i}$$x_i$$\overline{x_i}$$x_{i+1}$$\overline{x_{i+1}}$$s$$x_1$j verbunden. Ich habe meine Go-to-Software zum Zeichnen von Diagrammen nicht zur Hand, daher hier ein (extrem) grob gezeichnetes Diagramm dieser Konstruktion:$\overline{x_1}$und ist sowohl mit x n und ¯ x n . Schließlich ist jedes c i mit allen Füllvariablen $t$$x_n$$\overline{x_n}$$c_i$$p_j$

(Beachten Sie, dass die -Wolke hier nur eine große Menge von Scheitelpunkten ist und jede dicke Kante von c j bis zu dieser Wolke darstellt$\{P_i\}$$c_j$ , das mit jedem Scheitelpunkt in dieser Menge verbunden ist.)$c_j$

Die Behauptung ist, dass in der optimalen Lösung für das Min-Touching-Path-Problem die Anzahl der Scheitelpunkte, die den Pfad berühren, $Q + 2n + 2$ , wobei die optimale Lösung für die MIN-SAT-Instanz ist. Das ist weil$Q$

1. Der Pfad muss bei und bei t enden , und der beste Weg, dies zu tun, ohne alle Füllungsscheitelpunkte zu sammeln, besteht darin, von y i ∈ { x i , ¯ x i } zu y i + 1 ∈ { x i + zu gehen 1 , ¯ x i + 1 }, ohne jemals sowohl x i als auch ¯ x i für ein beliebiges i ∈ 1 zu sammeln$s$$t$$y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$$y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$$x_i$$\overline{x_i}$$i \in 1, \cdots, n$(Dies ist intuitiv, da das Löschen einer der beiden Optionen aus einer zweimal ausgewählten Variablen einen gültigen Pfad ergibt, dessen Kosten nicht höher sind, als wir beide beibehalten hatten.)
2. Es gibt eine Kostenlösung von höchstens , die nach s , x 1 , x 2 , ⋯ , x n , t geht und nichts außerhalb von s , t , { x i } , { ¯ x i } und { c sammelt ich } . Da jeder s - t - Pfad, der eine Polsterung erhält, mindestens s , t i , some enthalten muss$m+2$$s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$$s$$t$$\{x_i\}$$\{\overline{x_i}\}$$\{c_i\}$ $s-t$$s$$t$ , einige $c_i$ und x j und alles von { p } kosten ≥ m + 5 , daher ist es suboptimal. Die optimale Lösung berührt daher keinen der Füllungsscheitelpunkte, sodass der Pfad wie in Teil (1) beschrieben verlaufen muss.$x_i$$x_j$$\{p\}$$\geq m+5$
3. Rufen Sie die Variablenzuweisungen auf, die den Scheitelpunkten entsprechen, die der Pfad durchläuft (außer und t ), und geben Sie die induzierte Zuweisung des Pfads an. Ein Scheitelpunkt c j wird iff die induzierte Zuordnung des Weges berührt würde Klausel entsprechen c j . Umgekehrt kann eine Zuweisung der Variablen, die die Q- Klauseln erfüllt , in einen Pfad umgewandelt werden, der genau Q von c berührt$s$$t$$c_j$$c_j$$Q$$Q$ S durch auf dem Weg suchen, induziert die Zuordnung.$c_j$
4. Jeder und ¯ x i diesen Weg berührt, sowie die beiden s und t . Zusammen tragen diese 2 n + 2 zu den Gesamtkosten bei. Der Rest kommt von dem c i , das berührt wird, zu einem Preis von Q in der optimalen Lösung.$x_i$$\overline{x_i}$$s$$t$$2n + 2$$c_i$$Q$

Auf diese Weise können wir überprüfen, ob die MIN-SAT-Instanz eine Lösung von Kosten wenn der von uns erstellte Graph in einer Instanz Ihres Pfadproblems Kosten von ≤ k + 2 n + 2 aufweist . Insbesondere können wir dies über eine Karp-Reduktion tun. Somit ist das Problem, wie angegeben, NP-hart.$\leq k$$\leq k + 2n + 2$