Bounded-Input-Bijektionen von unendlichen Sequenzen

Hier ist ein Rätsel, das ich nicht gelöst habe. Ich würde gerne wissen, ob dieses Problem bereits bekannt ist oder eine einfache Lösung hat.

Es ist möglich, eine Bijektion Verwendung der Eigenschaften von bicartesischen geschlossenen Kategorien zu definieren. Was dies bedeutet, hat Andrej Bauer in seinem Blog unter dem Titel " Konstruktiver Edelstein: Exponentiale jonglieren " erklärt.$3^\mathbb{N} \cong 5^\mathbb{N}$

Diese Bijektion hat eine interessante Eigenschaft: Sie ist "gebundene Eingabe", was bedeutet, dass jede Komponente der Ausgabe nur von begrenzt vielen Komponenten der Eingabe abhängt. Für scheint diese Konstruktion jedoch nur zu zeigen, dass und isomorph sind, wenn und beide ungerade oder beide gerade sind. Dies lässt die Frage offen:k N l N k $k,l\geq 2$$k^\mathbb{N}$$l^\mathbb{N}$$k$$l$

Gibt es eine Bijektion mit beschränkter Eingabe von bis ? 3 $2^\mathbb{N}$$3^\mathbb{N}$

Hier ist eine kurze Anmerkung, die das Problem ausführlicher beschreibt: Eine Vermutung über Bijektionen unendlicher Sequenzen mit begrenztem Eingang .

Definitionen:

Eine Funktion wird begrenzt eingegeben, wenn es eine ganze Zahl so dass jede Komponente der Ausgabe von nur von höchstens Komponenten abhängt des Eingangs. Genauer gesagt wird als Eingabe mit wenn für jeden Index die Indizes und eine Funktion so dass für alle die Komponente gleich . k f k f j ∈ J i 1 , ⋯ , i k ∈ I f m : X i 1 × ⋯ × X i k → Y j x ∈ X f ( x ) j f j ( x i 1$f : \prod_{i \in I} X_i \rightarrow \prod_{j\in J} Y_j$$k$$f$$k$$f$$j \in J$$i_1,\dotsb,i_k \in I$$f_m : X_{i_1}\times\dotsb\times X_{i_k} \rightarrow Y_j$$x \in X$$f(x)_j$$f_j(x_{i_1},\dotsb,x_{i_k})$

Eine Bijektion ist eine Bijektion mit eingeschränkter Eingabe, wenn es sich um eine Funktion mit eingeschränkter Eingabe handelt.$f$

Eine Bijektion ist ein Isomorphismus mit beschränkter Eingabe, wenn es sich bei ihr und ihrer Inversen um Funktionen mit beschränkter Eingabe handelt. Das ist auch interessant.$f$

Ich bin kein CS-Theoretiker. In der Ergodentheorie wird diese Art der Abbildung als endliche Isomorphismen bezeichnet. Zum Beispiel wird überlegt, ob zwei Bernoulli-Sequenzen derselben Entropie endlich isomorph sind oder nicht. Zum Beispiel (dies ist eine einseitige Verschiebung, weil Sie sich anscheinend eher mit als mit P Z befassen ):$P^{\mathbb{N}}$$P^{\mathbb{Z}}$

A. Del Junco, "Finitary Codes zwischen einseitigen Bernoulli-Schichten", Ergodic Theory Dynamical Systems, vol. 1, S. 285–301, 1981.

PS Ich habe vor, dies als Kommentar zu hinterlassen, kann es aber aufgrund mangelnder Reputation nicht. Lass es mich wissen, wenn es komplett vom Thema abweicht, dann werde ich es löschen.

$k^\mathbb{N}$$2^\mathbb{N}$$k$$k = 3$$k - 2$$k - 1$

$2^\mathbb{N} \to k^\mathbb{N}$

$i$$i$ $k$

$k$$k$$i$$k$$k i$