Komplexitätsklasse dieses Problems?


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Ich versuche zu verstehen, zu welcher Komplexitätsklasse das folgende Problem gehört:

Exponentiating Polynomial Root Problem (EPRP)

Sei ein Polynom mit deg ( p ) 0 mit Koeffizienten, die aus einem endlichen Feld G F ( q ) mit q einer Primzahl gezogen werden, und r eine Grundwurzel für dieses Feld. Bestimmen Sie die Lösungen von: p ( x ) = r x (oder äquivalent die Nullen von p ( x ) - r x ), wobei r x die Exponentiierung von r bedeutet .p(x)deg(p)0GF(q)qr

p(x)=rx
p(x)rxrxr

Beachten Sie, dass bei deg(p)=0 (das Polynom ist eine Konstante), kehrt dieses Problem zum Diskreten Logarithmus-Problem zurück, von dem angenommen wird, dass es NP-Intermediat ist, dh es ist in NP, aber weder in P noch in NP-vollständig.

Es gibt meines Wissens keine effizienten (polynomiellen) Algorithmen zur Lösung dieses Problems (Berlekamp- und Cantor-Zassenhaus-Algorithmen benötigen exponentielle Zeit). Das Finden von Wurzeln für eine solche Gleichung kann auf zwei Arten erfolgen:

  • Probieren Sie alle möglichen Elemente im Feld aus und prüfen Sie, ob sie der Gleichung entsprechen oder nicht. Dies erfordert eindeutig eine exponentielle Zeit in der Bitgröße des Feldmoduls;x

  • Das Exponential kann in Polynomform umgeschrieben werden, indem die Punkte { ( 0 , r 0 ) , ( 1 , r 1 ) , , ( q - 1 , r q - 1 ) } mit Lagrange-Interpolation interpoliert werden , wobei a bestimmt wird Polynom f ( x ) . Dieses Polynom ist genau deshalb mit r x identisch , weil wir an einem endlichen Feld arbeiten. Dann ist der Unterschied (rx{(0,r0),(1,r1),,(q1,rq1)}f(x)rx kann berücksichtigt werden, um die Wurzeln der gegebenen Gleichung (unter Verwendung von Berlekamp- oder Cantor-Zassenhaus-Algorithmen) zu finden, und die Wurzeln können die Faktoren ablesen. Dieser Ansatz ist jedoch noch schlimmer als eine erschöpfende Suche: Da ein Polynom, das an n gegebenen Punktenvorbeigeht, im Durchschnitt n Nicht-Null-Koeffizienten aufweist, erfordert selbst die Eingabe in die Lagrange-Interpolation exponentiellen Raum in der Feldbitgröße.p(x)f(x)nn

Weiß jemand, ob man glaubt, dass dieses Problem auch NP-intermediär ist oder zu einer anderen Komplexitätsklasse gehört? Eine Referenz wird sehr geschätzt. Vielen Dank.


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Entschuldigung, ich meinte, es wird angenommen, dass es sich um ein NP-Zwischenprodukt handelt. Ich bearbeite die Frage, um dies widerzuspiegeln.
Massimo Cafaro

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Ich bevorzuge die "Bestimmung der Lösungen für die Gleichung ", aber natürlich die Bestimmung der Wurzeln von p ( x ) - r x "oder noch besser die Wurzeln von p ( x ) - f ( x ) "wobei f ( x ) das durch Lagrange-Interpolation gefundene Polynom ist, wie in der Frage diskutiert, sollte äquivalent sein. p(x)=rxp(x)rxp(x)f(x)f(x)
Massimo Cafaro

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Ist der diskrete Logarithmus nicht ein Sonderfall? Es ist also mindestens so schwer wie eine diskrete Wurzel und offensichtlich in NP. Wenn Sie glauben, dass diskretes Protokoll NPI ist, ist dies auch der Fall. Vielleicht möchten Sie fragen, ob es einen effizienten Quantenalgorithmus für das Problem gibt.
Kaveh

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@Kaveh: Es wird in der Frage erwähnt, dass das diskrete Protokoll ein Sonderfall ist. Dieses Problem könnte schwieriger sein (NP-vollständig), obwohl ich vermute, dass sie gleich sind. Aber Sie haben Recht, dass die Suche nach Polynomalgorithmen ziemlich aussichtslos ist.
Domotorp

Antworten:


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Ich werde versuchen, darauf zu antworten. In der Frage sind keine Referenzen angegeben, aber es wird ein Akronym "EPRP" vergeben, als ob mehr als eine Person es studiert hätte. Weiß jemand, ob das der Fall ist? Der Fragesteller MC scheint in diesem Bereich ein erhebliches Gewicht zu haben, aber es würde erheblich dazu beitragen, einige "in der Nähe" befindliche Refs aufzulisten, die bekannt sind / überprüft wurden, um zu verstehen, warum sie eine Lücke haben, die diesen vermeintlichen Sonderfall nicht (?) abdeckt.

In der Regel hilft es, "nächstgelegene verfügbare Referenzen" zu finden und festzustellen, ob das Problem unterschiedlich oder ähnlich ist. Hier ist ein umfassender Verweis, der nah verwandte Probleme zu berücksichtigen scheint. Denken Sie, dass der Fragesteller MC versuchen sollte, den nächstgelegenen Fall des Problems in dieser Referenz oder vielleicht einen anderen zu lokalisieren, und weisen Sie dann darauf hin, dass sich dieser angefragte Fall spezifisch von den in der Referenz angegebenen allgemeinen Problemfällen unterscheidet. der ref hat eine lange liste verwandter refs, um auch nach nahegelegenen / verwandten problemen zu suchen. Er betrachtet die Komplexität des Problems und gibt effiziente P-Zeit-Algorithmen für verschiedene Fälle an.

ZUR LÖSUNG UNIVARIATER POLYNOMGLEICHUNGEN ÜBER ENDFELDER UND EINIGE VERWANDTE PROBLEME Tsz Wo Sze, Doktor der Philosophie, 2007

... präsentieren wir einen deterministischen Polynom-Zeit-Algorithmus zur Lösung von Polynomgleichungen über einige Familien endlicher Felder. Beachten Sie, dass Polynomgleichungen mächtige Konstrukte sind. Viele Probleme können als Polynomgleichungen formuliert werden.


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Diese "Antwort" sollte ein Kommentar mit einem Link zur These sein.
Sasho Nikolov

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@vzn, die Hauptalgorithmen (Berlekamp, ​​Cantor-Zassenhaus und Lagrange Interpolation) wurden in meiner Frage zitiert und Sie können leicht Tonnen von verwandten Materialien finden, die im Web suchen. Ich könnte hier sogar den Shoup-Algorithmus hinzufügen, aber ich kann keine einzige Referenz hinzufügen, in der dieses Problem untersucht wurde. Das Akronym "EPRP" ist nur eine Möglichkeit, sich auf das Problem zu beziehen. Sie werden es in der Literatur nicht finden. Wie auch immer, ich habe die von Ihnen zur Verfügung gestellte Referenz überprüft, aber die untersuchten Probleme sind viel zu einfach und basieren auf vereinfachenden Annahmen, die in meinem Fall leider nicht zutreffen.
Massimo Cafaro

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Auch die in der Promotion untersuchten Probleme These sind nicht "allgemein": Sie sind spezifische Probleme, mit vereinfachenden Annahmen, die sie verfolgbar machen. Sehr interessante und solide Arbeit, aber wenn Dr. Tsz Wo Sze EPRP mit einem polynomialen Zeitalgorithmus gelöst hätte, hätte er wahrscheinlich inzwischen die Fields-Medaille erhalten ;-)
Massimo Cafaro

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xϕ(ϕ(q))

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@VZN: Hey Alter, warum trollst du diese Seite ständig? Es wird ein Witz. Sie sind offensichtlich ein Möchtegern-Informatiker (Sie verwenden nicht einmal Ihre wahre Identität wie die anderen echten Wissenschaftler hier, wie Shor und Growchow, ect.
William Hird
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