Ich versuche zu verstehen, zu welcher Komplexitätsklasse das folgende Problem gehört:
Exponentiating Polynomial Root Problem (EPRP)
Sei ein Polynom mit deg ( p ) ≥ 0 mit Koeffizienten, die aus einem endlichen Feld G F ( q ) mit q einer Primzahl gezogen werden, und r eine Grundwurzel für dieses Feld. Bestimmen Sie die Lösungen von: p ( x ) = r x (oder äquivalent die Nullen von p ( x ) - r x ), wobei r x die Exponentiierung von r bedeutet .
Beachten Sie, dass bei (das Polynom ist eine Konstante), kehrt dieses Problem zum Diskreten Logarithmus-Problem zurück, von dem angenommen wird, dass es NP-Intermediat ist, dh es ist in NP, aber weder in P noch in NP-vollständig.
Es gibt meines Wissens keine effizienten (polynomiellen) Algorithmen zur Lösung dieses Problems (Berlekamp- und Cantor-Zassenhaus-Algorithmen benötigen exponentielle Zeit). Das Finden von Wurzeln für eine solche Gleichung kann auf zwei Arten erfolgen:
Probieren Sie alle möglichen Elemente im Feld aus und prüfen Sie, ob sie der Gleichung entsprechen oder nicht. Dies erfordert eindeutig eine exponentielle Zeit in der Bitgröße des Feldmoduls;
Das Exponential kann in Polynomform umgeschrieben werden, indem die Punkte { ( 0 , r 0 ) , ( 1 , r 1 ) , … , ( q - 1 , r q - 1 ) } mit Lagrange-Interpolation interpoliert werden , wobei a bestimmt wird Polynom f ( x ) . Dieses Polynom ist genau deshalb mit r x identisch , weil wir an einem endlichen Feld arbeiten. Dann ist der Unterschied ( kann berücksichtigt werden, um die Wurzeln der gegebenen Gleichung (unter Verwendung von Berlekamp- oder Cantor-Zassenhaus-Algorithmen) zu finden, und die Wurzeln können die Faktoren ablesen. Dieser Ansatz ist jedoch noch schlimmer als eine erschöpfende Suche: Da ein Polynom, das an n gegebenen Punktenvorbeigeht, im Durchschnitt n Nicht-Null-Koeffizienten aufweist, erfordert selbst die Eingabe in die Lagrange-Interpolation exponentiellen Raum in der Feldbitgröße.
Weiß jemand, ob man glaubt, dass dieses Problem auch NP-intermediär ist oder zu einer anderen Komplexitätsklasse gehört? Eine Referenz wird sehr geschätzt. Vielen Dank.