Zählen der Anzahl einfacher Pfade im ungerichteten Diagramm

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Wie kann ich die Anzahl der eindeutigen einfachen Pfade in einem ungerichteten Diagramm bestimmen? Entweder für eine bestimmte Länge oder für einen Bereich akzeptabler Längen.

Denken Sie daran, dass ein einfacher Pfad ein Pfad ohne Zyklen ist. Ich spreche daher von der Zählung der Anzahl der Pfade ohne Zyklus.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— Ryan
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Dies wurde bereits auf mathoverflow gefragt: mathoverflow.net/questions/18603/…

— Listing

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Eigentlich ging es bei mathoverflow darum, alle Pfade zu finden und nicht zu zählen. Es kann sehr viel schwieriger sein, sie zu finden.

— DCTLib

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Neben den Referenzen, die in den Antworten angegeben sind, ist eine triviale Beobachtung, dass, wenn man die Anzahl der Pfade der Länge kann, die Frage der Existenz eines Hamilton-Pfades beantwortet werden kann. Es ist also höchstwahrscheinlich nicht P.

n - 1

$n-1$

— Saeed

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Es gibt mehrere Algorithmen, die die einfachen Pfade der Länge in der Zeit , was viel besser ist als die Zeit der rohen Gewalt ( ). Siehe zB Vassilevska und Williams, 2009 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Andreas Björklund
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Es ist # P-complete (Valiant, 1979), daher ist es unwahrscheinlich, dass Sie viel besser als Brute Force abschneiden, wenn Sie die genaue Antwort wünschen. Annäherungen werden von Roberts und Kroese (2007) diskutiert.

B. Roberts und DP Kroese, " Schätzen der Anzahl der - - Pfade in einem Graphen $s$ $t$ ". Journal of Graph Algorithms and Applications , 11 (1): 195 & ndash; 214, 2007.

LG Valiant, " Die Komplexität von Aufzählungs- und Zuverlässigkeitsproblemen ". SIAM Journal on Computing 8 (3): 410-421, 1979.

— David Richerby
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Das Papier von Roberts und Kroese scheint keine Annäherungsgarantien zu geben. Gibt es ein PTAS für dieses Problem bekannt?

— Sasho Nikolov

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G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

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$\delta>0$ $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
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