Faktorisierung von Polynomen niedrigen Grades

Was ist der schnellste bekannte Algorithmus zum Faktorisieren von Polynomen mit Variablen und Gesamtgrad ? Hier wächst und ist fest. Die meisten Arbeiten scheinen den Fall zu berücksichtigen, wenn wächst und fest ist. Ich interessiere mich für Ergebnisse sowohl über endliche Felder als auch über Rationalitäten.$n$$\leq d$$n$$d$$d$$n$

Sei $\mathbb K$ ein Feld der Charakteristik $0$ oder mindestens $d(d-1)+1$ , und $p\in\mathbb K[x_1,\dotsc,x_n]$ sei ein Polynom mit einem Gesamtgrad von höchstens $d$ . Wenn $d$ fest ist und $n$ wächst, hat man die folgenden Komplexitätsgrenzen für die Reduktion der Faktorisierung von $p$ auf die Faktorisierung eines univariaten Polynoms vom Grad $d$ : (Die Notation $\tilde{\mathcal O}(\cdot)$ ignoriert logarithmische Faktoren.)

1. Deterministische Algorithmen:

   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+d}{n}^4 \right)$ Feldoperationen unter Verwendung naiver Multiplikationsalgorithmen;
   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+2d-2}{n-1} d^\omega \right)$ Feldoperationen, wenn schnelle Multiplikationsalgorithmen verfügbar sind, wobei ist ein zulässiger Exponent für die lineare Algebra.¹$2<\omega\le 3$

2. Probabilistische Algorithmen:

   • $\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$ Feldoperationen, wenn schnelle Multiplikationsalgorithmen verfügbar sind.

Dann muss man ein univariates Grad- Polynom faktorisieren . Die Komplexität dieses Schritts hängt nicht mehr von , daher bleiben die obigen Grenzen für die vollständigen Faktorisierungsalgorithmen gültig. Der einzige Unterschied besteht in der positiven Charakteristik: Da kein deterministischer Polynom-Zeit-Algorithmus bekannt ist, der ein univariates Polynom faktorisiert, ergibt selbst die deterministische Reduktion einen probabilistischen Algorithmus. Wenn jedoch wirklich fest und klein ist, kann man den probabilistischen Polynomzeitalgorithmus durch einen deterministischen Exponentialzeitalgorithmus ersetzen.$d$$n$$d$

Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsgrenze bis zu logarithmischen Faktoren optimal ist, da die Größe von ist Eingang.$\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$$\binom{n+d}{n}$

Weitere Details finden Sie in der Veröffentlichung Verbesserte Algorithmen für die dichte multivariate Polynomfaktorisierung von Grégoire Lecerf ( Link ohne Paywall ).

Eine weitere Referenz, insbesondere für Felder mit kleinen Merkmalen, ist EL Kaltofen & G. Lecerf, Faktorisierung multivariater Polynome ( Link ohne Paywall ), Kapitel 11.5 von GL Mullen und D. Panario, Herausgeber, Handbuch für endliche Felder .

¹ Das Ergebnis muss davon ausgehen, dass .$\omega>2$