Komplexität der Faltung im Max / Plus-Ring

Wir können Faltung in $O(n\log n)$ für Plus / Multiplikations-Polynome mit FFT durchführen. Der Ansatz scheint jedoch für Ringe im Allgemeinen nicht sehr verallgemeinerbar zu sein. Hat es Fortschritte bei der naiven $O(n^2)$ -Faltung für den Max / Plus-Ring gegeben?

$\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})$

Es gibt eine allgemeinere Frage zum Mathoverflow .

Ich habe eine ähnliche Frage zu CS.SE gestellt . jbapple gab eine gute Antwort. Zitieren

"Halsketten, Faltungen und X + Y", Von Bremner et al. zeigt einen -Algorithmus für dieses Problem im realen RAM und einen Algorithmus im ungleichmäßigen linearen Entscheidungsbaummodell.$O\left(\frac{n^2(\lg \lg n)^3}{\lg^2 n}\right)$$O(n \sqrt{n})$

Jede Verbesserung dieser Grenze wirft ein Licht auf einige schwierige offene Probleme wie das Sortieren von und den kürzesten Weg aller Paare.$X+Y$

Wenn eine der Funktionen konvex / konkav ist, können wir das Problem in lösen . Siehe "Beschleunigung der dynamischen Programmierung", von Eppstein et al. .$O(n\log n)$