"Matrixkomplexität" - ist das möglich?

Beim Durchsuchen alter CStheory.se-Beiträge stieß ich auf einen faszinierenden Blog-Beitrag zum Problem der Matrixsterblichkeit . Sofern ich das Problem nicht falsch interpretiert habe, heißt es, dass bei einer endlichen Sammlung von 3 x 3 Matrizen mit ganzzahligen Einträgen für jeden Matrixwert entschieden werden muss, ob es ein endliches Produkt dieser Matrizen gibt, das einer Matrix entspricht, die aus allen Nullen besteht.

Erstaunlicherweise ist dieses Problem aufgrund einer Reduzierung des Post-Korrespondenzproblems nicht zu entscheiden. Meine Frage lautet: Können Sie angesichts der Unentscheidbarkeit des Problems und seiner Verknüpfung mit einem Problem, das mit Turing-Maschinen verbunden ist, zeigen, dass es eine Möglichkeit gibt, (zum Beispiel) alle Sprachen, die Klasse P und die Klasse NP zu charakterisieren Matrizen verwenden?

Ich habe selbst ein wenig daran gearbeitet, aber es fehlt mir das Training, um sicherzugehen, ob mein Glaube richtig ist. Ich denke, dieses Problem würde ein wenig Arbeit des Lesers erfordern, um es zu lösen.

Ich weiß nicht, wie ich mit LaTeX Matrizen auf SE schreiben soll, aber hier ist mein erster Versuch, NP zu charakterisieren:

Bei einer endlichen Menge von 3 · 3 Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und einer ganzen Zahl als NP- "Abfrage" sei eine zusätzliche Matrix als "Struktur" genommen. Die "Abfrage" akzeptiert die "Struktur", wenn ein Produkt von Matrizen aus , das einer Matrix entspricht, die nur aus Nullen besteht. $S$ $k$ $M$ $|M|^k + k$ $S$

Dieser Versuch ist nicht vollständig und enthält, wie Sie sehen, keinen Beweis, aber ich wollte meine ersten Gedanken zu dem Problem machen, um zu sehen, ob ein differenzierterer Versuch unternommen werden könnte, einen Begriff der Matrixkomplexität zu formalisieren. Dies ist interessant, da es wie Fagins Charakterisierung von NP unter Verwendung deskriptiver Komplexität verwendet werden könnte, um NP maschinenunabhängig zu charakterisieren.

cc.complexity-theory matrix-product

— Philip White
quelle

Hat die Verwendung der Terminologie "Matrixbeschreibende Komplexität" hier etwas mit beschreibender Komplexität zu tun? Es scheint mir, dass Sie versuchen, Komplexitätsklassen mithilfe von Matrixoperationen auszudrücken, anstatt die Theorie des endlichen Modells anzuwenden. In diesem Fall möchten Sie möglicherweise das beschreibende Komplexitäts-Tag entfernen. Es könnte für uns auch nützlich sein, wenn Sie die Unterscheidung oder den Zusammenhang zwischen Ihrer Idee und der beschreibenden Komplexität klargestellt haben.

— Mdxn

Ich bin kein Experte, aber ich hatte geglaubt, dass "beschreibende" Komplexität so genannt wird, wie sie ist, weil sie unabhängig von Turing-Maschinen ist. "Beschreibend" bedeutet nicht "logisch" oder "mit endlicher Modelltheorie" - glaube ich nicht. Ich habe das beschreibende Komplexitäts-Tag hinzugefügt, da die Erzeugung alternativer, maschinenunabhängiger Charakterisierungen von Komplexitätsklassen das Ziel der beschreibenden Komplexität ist.

— Philip White

Obwohl das gewöhnliche englische Wort "deskriptiv" nicht "unter Verwendung der Logik / endlichen Modelltheorie" bedeutet, bedeutet der Fachbegriff "deskriptive Komplexität" dies.

— David Richerby

OK. Ich werde die Frage ändern.

— Philip White

Es könnte interessant sein, die Effizienz einer " Mortalitätsproblemmaschine " zu untersuchen, dh einer Maschine, die bei einem Satz von 3x3-Matrizen eine Folge von Indizes so dass . Die Anzahl der Multiplikationen kann als die "Zeit" angesehen werden, die erforderlich ist, um die Berechnung durchzuführen. Kann es eine beliebige Turing-Maschine am Eingang mit nur einer Verlangsamung der Polynomzeit simulieren ? ( für einige , wobei die Laufzeit von auf .

M_{1}, . . ., M_{n}

$M_1,...,M_n$

i_{k}

$i_k$

M_{i_{1}} \cdot . . . \cdot M_{i_{m}} = 0

$M_{i_1} \cdot ... \cdot M_{i_m} = 0$

m

$m$

T

$T$

x

$x$

m = O (f (| x |)^{k})

$m = O(f(|x|)^k)$

k

$k$

f (| x |)

$f(|x|)$

T

$T$

x

$x$

— Marzio De Biasi

Dies ist keine Charakterisierung von NP: Es ist nur ein NP-vollständiges Problem (nun, ich nehme an, es ist sowieso NP-vollständig). OK, wenn ja, könnten Sie NP als die Klasse von Problemen charakterisieren, die auf Ihr Matrixproblem reduziert werden können, aber wie werden Sie Reduktionen definieren? Die Verwendung von Reduzierungen aus einem vorhandenen Rechenmodell (z. B. Turing-Maschinen) wäre selbstzerstörerisch. Welche Vorteile hätte eine solche Charakterisierung beispielsweise gegenüber der Betrachtung von NP als die Klasse von Problemen, die beispielsweise auf eine unabhängige Menge reduziert werden können?

Außerdem spielt die "Struktur" -Matrix keine Rolle in dem Problem, außer über ihre Determinante, so dass es keinen Grund dafür gibt, dass es sich um eine Matrix handelt und nicht nur um eine natürliche Zahl. $M$

— David Richerby
quelle