Kommunikationskomplexität für die Assoziativitätsentscheidung

Sei { 0 , . . . , N - 1 } und ∘ : S × S → S . Ich möchte die Kommunikationskomplexität berechnen, um zu entscheiden, ob ∘ assoziativ ist.$S=$$0,...,n-1$$\circ : S \times S \rightarrow S$$\circ$

Das Modell ist das folgende. ist als Matrix M gegeben . Alice (bzw. Bob) erhält die Hälfte der Einträge der Matrix nach dem Zufallsprinzip (dasselbe gilt für Bob). Ich möchte die ungünstigste Anzahl von Einträgen berechnen, die Alice an Bob senden muss, damit Bob über die Assoziativität von ∘ entscheiden kann .$\circ$$M$$\circ$

Tatsächlich ist es einfach, das Problem der Entscheidung über die Gleichheit zweier Bitketten der Größe auf das Problem der Entscheidung über die Assoziativität von ∘ über S zu reduzieren . Dies bedeutet, dass die Kommunikationskomplexität der Assoziativität durch Ω ( n ) geringer ist . Ich vermute jedoch, dass diese LB nicht eng ist. Da ich an einem Eingang der Größe n 2 definiere , hätte ich es vorgezogen, eine Kommunikationskomplexität von Ω ( n 2 ) zu finden .$\Omega(n)$$\circ$$S$$\Omega(n)$$n^{2}$$\Omega(n^{2})$

Gibt es ein bekanntes Ergebnis für dieses Problem? Ist die Antwort aus einem offensichtlichen Grund, den ich nicht sehe?$n^{2}$

Es gibt binäre Operationen auf S . Die Frage ist, wie viele von ihnen assoziativ sind. Kleitman, Rothschild und Spencer gibt eine asymptotische Zählen Formel für dieses Problem in ihrem Papier Die Anzahl der Halbgruppen der Ordnung n . Es hat eine relativ einfache Form in den sogenannten "nicht seltenen Fällen", in denen der Peak von f ( t ) dominiert, so dass die anderen Terme vernachlässigt werden können, ohne die Asymptotik zu beeinflussen. Sie sollten in der Lage sein, eine Untergrenze für Ihre Frage anzugeben, indem Sie die Mathematik mit dieser Formel durchgehen.$n^{n^2}$$S$$n$$f(t)$