Sei eine Funktion. Wir wollen den Durchschnitt von f schätzen , das heißt: E [ f ( n ) ] = 2 - n ∑ x ∈ { 0 , 1 } n f ( x ) .
NOTE: In the OP, the range of f was [0,1]. I changed this a bit for technical reasons. (This should simplify the problem; if not, forget it!)
Sei der (randomisierte) Schätzalgorithmus. Angenommen, E hat Black-Box-Zugriff auf f . Wir bezeichnen dies mit E f .
Es gibt zwei Bedingungen:
1) Laufzeit des Schätzers: Es existiert ein einzelnes Polynom so dass für alle n und alle f die Laufzeit von E f ( 1 n ) durch p ( n ) begrenzt ist. .
2) Schätzerpräzision mit Sicherheit : Es existiert ein einzelnes Polynom , so dass wir für alle n und alle f 1 habenmit einer Wahrscheinlichkeit von mindestensδ.
NOTE: The confidence δ was not in the OP. The parameter δ is in (0,1), and may depend on n. For instance, it may be 1-1/2^n.
Gibt es solche Schätzer?
Hintergrund und Motivation
Ich habe meine Motivation anfangs nicht erwähnt, da sie viel Hintergrundwissen erfordert. Jedenfalls beschreibe ich es für die Enthusiasten kurz: Die Notwendigkeit für solche Schätzer ergibt sich im Zusammenhang mit "Proofs of Ability", wie im folgenden Artikel definiert:
Mihir Bellare, Oded Goldreich. Proving Computational Ability , 1992. Unveröffentlichtes Manuskript.
Insbesondere haben die Autoren am Ende von Seite 5 implizit angenommen, dass solche Schätzer existieren (Präzision wird nicht erwähnt, und die Laufzeit ist nicht genau definiert; der Kontext definiert jedoch alles klar.)
Mein erster Versuch war, " Eine Stichprobe von Samplern - Eine rechnerische Perspektive auf das Sampling " zu lesen . Es handelt sich um ein sehr ähnliches Problem, jedoch ist die definierte Fehlerwahrscheinlichkeit additiv, während unsere multiplikativ ist. (Ich habe die Zeitung nicht vollständig gelesen, vielleicht wird erwähnt, was ich irgendwo brauche.)
EDIT (gemäß Tsuyoshis Anfrage): Tatsächlich setzt die Definition von "Proofs of Computational Ability" die Existenz eines "Knowledge Extractor" voraus, dessen (erwartete) Laufzeit . Da wirE[f(n)]nicht kennen, möchten wir es schätzen; Dies darf jedoch die Laufzeit nicht wesentlich verändern: Es sollte sie in einen Polynomfaktor ändern. Die Präzisionsbedingung versucht, eine solche Anforderung zu erfassen.