Maximieren Sie MST (G [S]) über alle induzierten Teilgraphen G [S] in einem metrischen Diagramm

Wurde dieses Problem schon einmal untersucht?

Wenn ein metrischer ungerichteter Graph G gegeben ist (Kantenlängen erfüllen Dreiecksungleichung), finden Sie eine Menge S von Eckpunkten, so dass MST (G [S]) maximiert wird, wobei MST (G [S]) der minimale Spannbaum des Subgraphen ist, der durch induziert wird S. Wurde dieses Problem schon einmal untersucht? Ist es NP-schwer? Danke vielmals.

— Jian
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Gibt es eine einfache Verwendung dieses Untergraphen in Theorie oder Praxis?

— Saeed

Wenn Sie die metrische Bedingung entfernen, ist es leicht zu beweisen, dass das Problem NP-schwer ist?

— Igor Shinkar

Wenn alle Eckpunkte enthält, ergibt sich eine Annäherung von .

S

$S$

0.5

$0.5$

— Neal Young

Es ist NP-vollständig durch eine Reduzierung der Scheitelpunktabdeckung.

Sei ein Graph, in dem eine optimale Scheitelpunktabdeckung schwer zu finden ist. Erstellen Sie einen neuen Graphen mit doppelt so vielen Scheitelpunkten, indem Sie jedem Scheitelpunkt von einen neuen Scheitelpunkt vom Grad 1 hinzufügen . Verwandeln Sie in einen metrischen Raum, indem Sie den Abstand zwischen benachbarten Scheitelpunkten gleich und den Abstand zwischen nicht benachbarten Scheitelpunkten gleich . Für diesen metrischen Raum entspricht das Gewicht eines minimalen Spannbaums eines induzierten Teilgraphen der Anzahl der Eckpunkte plus der Anzahl der verbundenen Komponenten des Teilgraphen minus eins. $G$ $H$ $G$ $H$ $1$ $2$

Wir können davon ausgehen, dass der Untergraph mit dem schwersten MST alle Scheitelpunkte des Grades 1 enthält, da das Hinzufügen eines dieser Scheitelpunkte zu einer Untermenge die Anzahl der Komponenten niemals verringern kann. So sind die Eckpunkte , die entfernt wurden die Subgraphen zu bilden , sind eine Untergruppe von . Wir können auch annehmen, dass diese entfernten Scheitelpunkte eine Scheitelpunktabdeckung von . Wenn ein anderer induzierter Untergraph durch Entfernen von Scheitelpunkten gebildet wird, die keine Scheitelpunktabdeckung bilden, und eine nicht bedeckte Kante ist, führt das Entfernen von zu einem induzierten Untergraphen, der mindestens genauso gut ist: Er hat einen Scheitelpunkt weniger aber eine weitere verbundene Komponente, die durch den Grad-Eins-Scheitelpunkt von wurde, der an gebunden war . $G$ $G$ $uv$ $v$ $H$ $v$

Der optimale Teilgraph von wird also durch Entfernen einer Scheitelpunktabdeckung von . Eine solche Subgraphen wird genau Komponenten (eine für jeden Grad-one Vertex hinzugefügt , entweder für sich allein oder zu einem Eckpunkt von angeschlossenen ) und einer Anzahl von Scheitelpunkten gleich zu wobeiund ist die Größe der Abdeckung. Somit beträgt das Gewicht seines MST . Um dies zu maximieren, müssen wir minimieren . $H$ $G$ $n$ $H$ $G$ $2n-k$ $n=|V(G)|$ $k$ $3n-k+1$ $k$

— David Eppstein
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