Genaue Exponentialzeitalgorithmen für die 0-1-Programmierung

10

Gibt es bekannte Algorithmen für das folgende Problem, die den naiven Algorithmus übertreffen?

Eingabe: Ein System von linearen Ungleichungen. $Ax \le b$ $m$

Output: eine realisierbare Lösung , falls vorhanden. $x^*\in \{0,1 \}^n$

Angenommen, und haben ganzzahlige Einträge. Ich interessiere mich für Worst-Case-Grenzen. $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— Austin Buchanan
quelle

14

Wenn superlinear ist, würde ein solcher Algorithmus die Hypothese der starken Exponentialzeit widerlegen, da Formeln in konjunktiver Normalform ein Sonderfall der 0-1-Programmierung sind und das Sparsification Lemma es uns ermöglicht, -SAT in linear vielen Klauseln auf CNF-SAT zu reduzieren . $m$ $k$

Es gibt jedoch einen Algorithmus von Impagliazzo, Paturi und mir , der ein solches Ungleichungssystem lösen kann, wenn die Anzahl der Drähte, dh die Anzahl der Koeffizienten ungleich Null in linear ist. Insbesondere wenn die Anzahl der Drähte , läuft der Algorithmus in der Zeit , wobei $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ . $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— Stefan Schneider
quelle

1

Wenn klein genug ist, können Sie es besser machen als der naive Algorithmus, dh besser als Mal. Hier bedeutet "klein genug", dass kleiner ist als etwas wie . Die Laufzeit ist immer noch exponentiell - z. B. -, aber schneller als der naive Algorithmus. $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

Übrigens sieht es so aus, als könnten wir das Problem in einigen Fällen, in denen die Matrix eine superlineare Anzahl von Einträgen aufweist, schneller als lösen . Ich weiß nicht, wie ich das mit der anderen Antwort hier in Einklang bringen soll. Daher sollten Sie meine Antwort sorgfältig prüfen: Dies könnte darauf hinweisen, dass ich irgendwo einen schwerwiegenden Fehler gemacht habe. $2^n$ $A$

Der grundlegende Ansatz: schreibe , wobei die ersten Komponenten von und die letzten Komponenten enthält; und ähnlich , wobei die linken Spalten von und die rechten $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ Spalten. Jetzt kann in der Form neu geschrieben werden $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

oder gleichwertig,

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

Zählen Sie alle Möglichkeiten für und lassen Sie die Menge möglicher Werte bezeichnen, dh $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

Jetzt wird das Problem

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
quelle

1

Der Algorithmus aus meiner Antwort reduziert sich mit der gleichen Methode auch auf das in Ihrer Antwort beschriebene Vektorproblem, dh teilt die Variablen auf und listet alle ihre Zuordnungen auf.

— Stefan Schneider

2

2^{O (m)}

$2^{O(m)}$