Können Sie die Summe von zwei Permutationen in der Polynomzeit identifizieren?

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Es gab zwei Fragen vor kurzem auf cs.se gefragt , die entweder verwandt waren oder hatte einen Sonderfall entspricht folgende Frage:

Angenommen, Sie haben eine Folge von Zahlen, so dass Zerlegen Sie es in die Summe der beiden Permutationen und von , so dass $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$ .

Es gibt einige notwendige Bedingungen: Wenn die so sortiert sind, dass $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$ , dann müssen wir haben

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

Diese Bedingungen sind jedoch nicht ausreichend. Aus der Antwort auf diese mathematische Frage, die ich gestellt habe, kann die Folge 5,5,5,9,9,9 nicht als die Summe von zwei Permutationen zerlegt werden (man kann dies sehen, indem man die Tatsache verwendet, dass sowohl 1 als auch 5 nur können) gepaart werden mit 4).

Meine Frage lautet also: Wie komplex ist dieses Problem?

— Peter Shor
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Übrigens, eine einfache Variante ist mir eingefallen und ich bin mir nicht sicher, wie komplex sie ist. Können Sie die feste freie Summe von zwei Permutationen in der Polynomzeit identifizieren? (Wir fordern, dass die beiden Permutationen an jeder Position nicht

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany

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$2$

$a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

$\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

In der Referenz wurde eine stark eingeschränkte Variante von NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM) als stark NP-vollständig nachgewiesen.

$U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ $j = 1, . . . , n$

$2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen und JK Lenstra. Die Minimierung der Makespan in einem Zwei-Maschinen-Flow-Shop mit Verzögerungen und Zeiteinheiten-Operationen ist sehr schwierig . Journal of Scheduling, 7: 333–348, 2004

BEARBEITEN 1. Oktober : Ihr Problem heißt PERMUTATION SUMS. Es ist seit 1998 in OPEN PROBLEMS IN COMBINATORIAL OPTIMIZATION von Steve Hedetniemi gelistet.

— Mohammad Al-Turkistany
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Danke für die Antwort. Ich habe auf cs.se auf eines der Probleme geantwortet, die dieses inspiriert haben (das nicht in einer Form vorliegt, die direkt von Ihrer Referenz beantwortet wurde), aber ich denke, Sie sollten die erste Chance haben, das zweite zu beantworten, da die Antwort gegeben ist in Ihrer Referenz.

— Peter Shor

Vielen Dank Peter. Ich bin froh, dass ich Ihnen helfen konnte. Ich denke, Sie werden eine bessere Antwort hervorbringen. Bitte beantworten Sie auch diese Frage.

— Mohammad Al-Turkistany

Hier ist die Problembeschreibung, wie sie auf der obigen Webseite erschien: PERMUTATION SUMS [Cheston, 198X] INSTANZ: Ein Array A [1..n] positiver Ganzzahlen. FRAGE: Gibt es zwei Permutationen r und s der positiven ganzen Zahlen {1,2, ..., n}, so dass für 1 <= i <= n r (i) + s (i) = A [i] ?

— Mohammad Al-Turkistany

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Auf der anderen Seite hat Marshall Hall gezeigt, dass es leicht ist, den Unterschied zwischen zwei Permutationen zu erkennen.

— anonymer Elch
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n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

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@PeterShor Bitte senden Sie der Vollständigkeit halber Ihren Kommentar als separate Antwort, indem Sie eine Beweisskizze für die NP-Vollständigkeit zur Ermittlung des Unterschieds zwischen zwei Permutationen bereitstellen.

— Mohammad Al-Turkistany

3

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$

— Peter Shor