Geglättete Analyse von Approximationsalgorithmen

Eine geglättete Analyse wurde viele Male angewendet, um die Laufzeit exakter Algorithmen für viele Probleme wie lineare Programmierung und k-Mittelwerte zu verstehen. Es gibt ziemlich allgemeine Ergebnisse in diesem Bereich, zum Beispiel Heiko Röglin und Berthold Vöcking, Smoothed Analysis of Integer Programming , 2005. Einige dieser allgemeinen Ergebnisse scheinen auf Isolations-Lemmas zu beruhen, um eine Instanz mit einer einzigartigen optimalen Lösung zu erzeugen. Unter der Annahme von schließt diese Arbeit die Existenz geglätteter polynomieller Zeitalgorithmen für N P -harte Probleme aus.$\mathsf{NP}\ne \mathsf{ZPP}$$\mathsf{NP}$

Einige Arbeiten wurden an einer geglätteten Analyse für Approximationsalgorithmusverhältnisse durchgeführt. Es gibt Rao Raghavendra, Probabilistic and Smoothed Analysis of Approximation Algorithms , 2008, der versucht, eine verbesserte Approximation für den Christofides-Algorithmus mit geglätteter Analyse zu liefern. Es wird jedoch kein explizites Näherungsverhältnis angegeben.

Gibt es einen Grund, warum die Härte der Approximationsergebnisse die Approximationsverhältnisse von Algorithmen einschränken sollte, die in geglätteter Polynomzeit ausgeführt werden? Gilt das Ergebnis von Heiko Röglin und Berthold Vöcking auch für Approximationsalgorithmen?

Die Arbeit von Bläser, Panagiotou und Rao befasst sich mit der Konzentration der nach dem Algorithmus von Christofides erstellten Tour. Mit Ausnahme einiger experimenteller Ergebnisse wird kein durchschnittliches Approximationsverhältnis angegeben.

Die Arbeit von Röglin und Vöcking (Math. Program., 2007) und eine frühere Arbeit von Beier und Vöcking (SIAM J. Comput., 2006) besagen ungefähr, dass geglättete Polynomzeit gleichbedeutend mit randomisierter Pseudo-Polynomzeit ist. Pseudo-Polynom bedeutet hier Laufzeit-Polynom in der Eingangsgröße und der Größe der gestörten Koeffizienten. Dies schließt eine geglättete Polynomkomplexität für stark NP-harte Optimierungsprobleme aus (es sei denn, NP = ZPP).

Bezüglich geglätteter Analyse und Approximation gibt es nur sehr wenige Arbeiten, die sich mit spezifischen Problemen oder Algorithmen befassen (Englert, Röglin und Vöcking für die 2-Opt-Heuristik für TSP; Bläser, Manthey und Rao sowie Curticapean und Künnemann für die Partitionierung von Heuristiken; Karger und Onak für mehrdimensionale Verpackung). Mir sind jedoch keine strukturellen Zusammenhänge zwischen Unangemessenheit und geglätteter Analyse bekannt.