Warum verwendet die Log-Rank-Vermutung Rang über den Real?

In der Kommunikationskomplexität besagt die Log-Rank-Vermutung, dass

c c (M) = (\log r k (M))^{O (1)}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

Wobei $cc(M)$ die Kommunikationskomplexität von $M(x,y)$ und $rk(M)$ der Rang von $M$ (als Matrix) über den Realwerten ist.

Wenn Sie jedoch nur die Rangmethode verwenden, um die Grenze zu senken, $cc(M)$ können Sie $rk$ über jedem Feld verwenden, das zweckmäßig ist. Warum beschränkt sich die Log-Rank-Vermutung darauf, über die Reals zu rken? Wird die Vermutung für $rk$ über Felder ungleich Null aufgelöst? Wenn nicht, ist es von Interesse oder hat etwas Besonderes an $rk$ über $\mathbb{R}$ ?

— Artem Kaznatcheev
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Übrigens, ich glaube, Sie sollten

M

$M$ auf binär beschränken, sonst können Sie triviale Gegenbeispiele erfinden.

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Was meinst du mit trivialen counterexamples wenn

M

$M$ nicht ist

0 / 1

$0/1$ (I Sie reellen Zahlen bedeuten über glauben)?

— T ....

Zum Beispiel das Problem "rate meine Nummer", dh Alice hat eine Nummer in

und Bob muss sie ausgeben. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kommunikationskomplexität

aber der Rang der Matrix ist

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov Kannst du meine Nummer genau erraten? Ich kann die charakteristische Matrix nicht visualisieren. Alice hat

und Bob hat

. Was ist dann die Funktion

aus der

von Rang

definiert ist?

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

M

$M$

1

$1$

— T ....

Die Funktion ist

, wo

und

sind

-Bit - Vektoren. Wenn die Definition der Kommunikationskomplexität erfordert, dass der Wert von

vollständig durch das Protokolltranskript bestimmt wird (dies ist die Definition in Kushilevitz-Nisan), dann ist die Komplexität eindeutig

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

— Sasho Nikolov

$\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— Sasho Nikolov
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