Schlagen von Sets mit einer Unterfamilie

Sei eine Familie von Element-Teilmengen eines endlichen Universums von Objekten. Eine Familie von Element-Teilmengen von mit ist eine - Schlagmenge von wenn für jedes mindestens eine Menge wie z daß .$F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

Bei einer Sammlung wie oben beschrieben, die - Schlagen-Set Problem ist es, einen kleinsten zu finden -hitting-Set für .$F$$(k,d)$$(k,d)$$H$$F$

Wenn , haben wir das Standard-Schlagsatzproblem, und es gibt viele frühere Ergebnisse dafür. Ich kenne parametrisierte Analysen für den Fall mit und (siehe zum Beispiel Brankovic und Fernau ).$k = 1$$k = 1$$d \le 3$

Kennt jemand irgendwelche Ergebnisse bezüglich der Komplexität oder der Härte der Approximation des -Hitting-Set-Problems mit:$(k,d)$

1. $k = 1$ und ?$d = 4$
2. $d = 4$ und ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ und beliebig?$d$

Für eine Konstante das Problem der ( k , d ) -schlagenden Menge nicht schwieriger als die ursprüngliche d- treffende Menge (dh k = 1 ), sowohl hinsichtlich der Approximation als auch der parametrisierten Komplexität. Es gibt eine einfache Reduktion von k d -HS auf d -HS. Für eine Instanz ( U , F , d , k ) des ersten Problems erhalten wir eine Instanz von ( U ' , F ' , d ) der zweiten, in der jedes Element enthalten ist$d$$(k,d)$$d$$k=1$$kd$$d$$(U,\mathcal{F},d,k)$$(U',\mathcal{F'},d)$ entspricht einer k- Element-Teilmenge von U , und jede Menge in F ' entspricht aufdie gleiche Weiseeiner Menge in F (dh Abbildung aller k- Element-Teilmengen von U auf Elemente in U ' ). Da k eine Konstante ist, ist die Größe der neuen Instanz eine Polynomfunktion der Größe der ersten Instanz ( O ( n k ) ). Ein Schlagsatz für das erste Problem entspricht einem Schlagsatz gleicher Kardinalität für das zweite Problem und umgekehrt, daher bleibt die Reduktion annähernd erhalten.$e \in U'$$k$$U$$\mathcal{F'}$$\mathcal{F}$$k$$U$$U'$$k$$O(n^k)$