Was ist der Unterschied zwischen Pfeilen und Exponentialobjekten in einer geschlossenen kartesischen Kategorie?

In einer cartesianischen Closed - Kategorie ( CCC ), gibt es die so genannten exponentiellen Objekte , geschrieben . Wenn ein CCC wird als ein Modell der einfach-typisiert Kalkül , ein exponentielles Objekt wie kennzeichnet die Funktion Raum vom Typ zu Typ . Ein exponentielles Objekt wird durch einen Pfeil namens Pfeil Pfeil Pfeil und durch einen Pfeil namens eliminiert Pfeil (der leider genannt $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ in den meisten Texten zur Kategorietheorie). Meine Fragen hier sind: Gibt es einen Unterschied zwischen dem Exponentialobjekt und dem Pfeil ? $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— Tag
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In einer Kategorie ist es das exponentielle Objekt , sondern in Art Theorie könnte es die aufgerufen werden exponentiellen Typ .

— Andrej Bauer

Dies ist keine Frage auf Forschungsebene. Auf cs-exchange umsteigen?

— Andrea Asperti

Einer ist intern und der andere ist extern .

Eine Kategorie besteht aus Objekten und Morphismen. Wenn wir schreiben, meinen wir, dass ein Morphismus von Objekt nach Objekt . Wir können alle Morphismen von nach in einer Menge von Morphismen sammeln , die "Hom-Menge" genannt wird. Diese Menge ist kein Objekt von , sondern ein Objekt der Kategorie Mengen. $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

Im Gegensatz dazu ist ein exponentielles ein Objekt in . So denkt " an seine Hom-Sets". Also muss mit jeder Struktur ausgestattet sein, die die Objekte von haben. $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

Betrachten wir als Beispiel die Kategorie der topologischen Räume. Dann ist eine fortlaufende Abbildung von nach , und ist die Menge aller dieser fortlaufenden Abbildungen. Aber , wenn es existiert, ein topologischer Raum! Sie können beweisen, dass die Punkte von (in bijektiver Entsprechung zu) den fortlaufenden Abbildungen von nach . Tatsächlich gilt im Allgemeinen: Die Morphismen (die "die globalen Punkte von " sind) stehen in bijektiver Entsprechung zu den Morphismen , weil $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

Manchmal erhalten wir nachlässig über das Schreiben im Gegensatz zu . Tatsächlich sind diese beiden oft Synonyme, mit dem Verständnis, dass "oh, hier meine ich übrigens die andere Notation" bedeuten könnte, was bedeutet, dass ein Morphismus von $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ nach ." Wenn Sie zum Beispiel das Currymorphismus- aufgeschrieben haben , sollten Sie wirklich geschrieben haben $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

Wir können also niemandem die Schuld geben, hier verwirrt zu sein. Das innere

wird im inneren Sinne verwendet, das äußere im äußeren.

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

$\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$

A \to B

$A \to B$

— Andrej Bauer
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Vielen Dank für die großartige Antwort, die das Rätsel vollständig gelöst hat.

— Tag

Tatsächlich! Tolle Erklärung!

— Uday Reddy

Was ist also intern und was ist extern?

— CMCDragonkai